Критические точки распределения Стьюдента

Методика выделения инженерно-геологических элементов статистическим методом.

Пример 5.1. Исследуемый участок представлен суглинком светло-темно-серого цвета. Всего отобрано 64 пробы грунта. В каждой пробе определялась влажность грунта. Схематический геологический разрез приведен на рис. 5.1.

Необходимо определить, геологическое тело представлено одним или несколькими инженерно-геологическими элементами.

Алгоритм решения:

Строим гистограмму распределения признака – влажность (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Гистограмма по влажности

Из рис. 5.2. видно, что в исследуемой выборке наблюдаются два «горба». Отсюда мы можем предположить, что данная выборка представляет две генеральные совокупности (два ИГЭ). Анализ распределения влажности по разрезу показал, что в верхней части разреза суглинок маловлажный и имеет светло-серый цвет, ниже залегает суглинок более влажный темно-серого цвета. Граница между ними установлена на глубине 9м.

Используя в качестве классификационных признаков цвет суглинка и граничную влажность w ≈ 18,5%, исследуемая выборка разделена на две новые. В каждой выборке имеем по 32 наблюдения, т.е. n₁=n₂=32.

Повторно строим гистограммы распределения влажности (рис. 5.3). Из рис. 5.3 видно, что влажности в каждой новой выборке подчиняются закону нормального распределения. Поэтому вероятно эти две выборки отражают две генеральные совокупности, т.е. исследуемый массив представлен двумя инженерно-геологическими элементами со следующими характеристиками: ИГЭ-1 – суглинок светло-серого цвета, ()=14,59% и S₁=1,62%. ИГЭ-2 сложен суглинком темно-серого цвета, ()=21,59% и S₂=1,62%. Дисперсии соответственно равны S₁²=2,62 и S₂²=2,62.

Для подтверждения данной гипотезы рассчитаем Fp.

F_p=(S₁²)/(S₂²)=2,62/2,62=1

При k₁=n₁-1=31; k₂=n₁+n₂-2=60 и уровни значимости α = 0,05.

F_T ≈ 2,38 (см. приложение 1). Затем сопоставляем F_p и F_T. F_p = 1 < F_T = 2,38.

Отсюда видно, что дисперсии двух выборок не имеют существенных отличий, поэтому они отражают одну генеральную совокупность.

Приложение 1

Критические точки распределения Фишера-Снедекора (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии, k₂ – число степеней свободы меньшей дисперсии)

Проводим проверку о равенстве двух средних:

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы используем зависимость:

t_(расч.) =

t_р=16,9

При k = n₁ + n₂ -2 =32+32-2=62 степенях свободы и уровнезначимости а=0,1 критерий t_T = 1,07 (см. приложение 2)

Приложение 2

Критические точки распределения Стьюдента

Сопоставим t_p и t_T, t_p = 16,9 >t_T = 1,07.

Из приведенного видно, что суглинок светло-серый и темно-серый являются разными геологическими телами, т.е. исследуемый грунтовый массив представлен двумя инженерно-геологическими элементами.

Вывод: при выделении инженерно-геологических элементов наиболее надежным является метод основанный на критериях F-Фишера и t-Стьюдента. Графический и вариационный (V) методы более грубые.

Задание. В процессе инженерно-геологических изысканий площадки строительства сооружения проведено опробования грунтового массива 3 скважинами, глубиной по 10 метров. В каждой скважине производилось описание керна, по которому определялась (предварительно) номенклатура грунта. Кроме того отобрано 30 пробы грунта. В каждой пробе определялась влажность грунта и другие физико-механические свойства.

Требуется:

-построить геологический разрез;

-выделить ИГЭ

Исходная информация:

Журнал описания горных выработок

Физические свойств грунтов

Таблица 1