Рассмотрено и одобрено цикловой комиссией

Федеральное агентство связи

ГОУ СПО «Чебоксарский электротехникум связи»

 

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ

Цикловой комиссией Зам. директора по УПР

«Информационные технологии» ____________ А.А. Алексеев

 

_____________В.М. Бакина «10» января 2011 г.

(подпись)

«10» января 2011 г.

 

Практическая работа №2

 

 

По дисциплине «Метрология, стандартизация, сертификация»

 

Наименование работы «Расчет погрешностей измерений»

 

Для специальностей:

230101 – Вычислительные машины, комплексы, системы и сети.

230105 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.

 

 

Работа рассчитана 2 часа

 

Разработал преподаватель

_________А.И. Давыдова

 

«5» января 2011г.

 

 

 

 

Рассмотрено и одобрено цикловой комиссией

«Информационных технологий»

Протокол № 6 от 10 января 2011 года

Председатель цикловой комиссии

_________________ В.М.Бакина

 

Разработал преподаватель: А.И. Давыдова

1.Цель работы:

1.1 Ознакомится с сущностью и понятием погрешностей, порядком обработки результатов измерений с точным оцениванием погрешностей.

1.2 Совершенствование навыков работы на ПК с использованием различных программных средств.

2. Домашнее задание

2.1 Подготовьте бланк отчета, используя описание данной работы. Титульный лист отчета см. Приложение А.

2.2 Изучите литературу [1. с.36-49; 2. с.24-41].

3. Содержание отчета

Отчет должен содержать титульный лист установленной формы, цель работы, ответы на вопросы домашнего задания, вывод по работе и выполнен с применением ПК.

4. Теоретические сведения

4.1 Точность измерения

Точность измерения – это степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению физической величины. Чем меньше точность, тем выше погрешность и чем меньше погрешность, тем выше точность.

Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности. Понятие “погрешность” содержит в себе понятия “погрешность результата измерения” и “погрешность средства измерения”.

Погрешностью результата измерения называют отклонение найденного значения от истинного значения измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной оценки погрешности пользуются действительным значением физической величины.

Это значение находят экспериментально и настолько близко к истинному значению, что может быть использовано вместо него.

Погрешность средства измерения – представляет собой разность между показаниями средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

По форме количественного выражения погрешности делятся на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютной погрешностью Δ, выражаемой в единицах измеряемой величины, называют отклонение результата измерения Х от истинного значения. Δ = Х - Х_и

Относительной погрешностью δ, называют отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

δ = Δ / Х_и

Относительную погрешность часто выражают в процентах:

δ = Δ / Х_и 100%

Приведенной погрешностью γ, выражающей потенциальную точность измерений, называют отношение абсолютной погрешности Δ к некоторому нормирующему значению Х_N (например к конечному значению шкалы): γ = Δ / Х_N 100%

По характеру (закономерности) проявления погрешности делятся на: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности Δ_с – составляющие погрешности измерений, сохраняющиеся постоянными или закономерно изменяющимися при многократных измерениях величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности выявляют анализом их источников и уменьшают применением более точных приборов и калибровкой приборов с помощью рабочих мер и др.

Случайные погрешности Δ_сл – составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом по значению и знаку при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях. Случайная погрешность уменьшается при увеличении количества измерений.

Грубые погрешности (промахи) – погрешности, существенно превышающие ожидаемые результаты при данных условиях измерения. Они возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий. При однократном измерении грубую погрешность обнаружить нельзя. Её можно выявить только при многократных измерениях и исключают в процессе обработки измерений.

В метрологии при анализе погрешностей часто используют закон распределения погрешностей – нормальный закон распределения – закон Гаусса.

1 - Δ² /2σ²

Для нормального закона распределения (): р (Δ) = е

σ √2 π, где

р (Δ) – плотность вероятности случайной погрешности Δ = Х - Х_и или Δ = Х – Х_д

σ – среднеквадратическое отклонение погрешности характеризует точность измерения, чем меньше σ, тем выше точность измерения.

При нормальном законе распределения случайной погрешности за истинную величину Х_и удобно применять среднее арифметическое значение (оно относится к дискретным случайным величинам, реально получаемых при n измерениях). Х_ср = Х₁+ Х₂ + Х₃ +····+ Хn/n, где n-число измерений. В отличие от относительной и приведенной погрешностей абсолютная погрешность всегда имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Если выполнить к серий измерений в каждой серии проводилось n отдельных измерений и вычислить среднеарифметическое значение для каждой серии, то полученные для каждой серии среднеарифметические значения Х_ср1 , Х_ср2 , Х_ср3 ,…, Х_срn будут несколько различаться между собой. Эти средние значения будут отличаться от истинного значения Х_и измеряемой величины на случайные величины и, следовательно, будут распределяться около Х_и по закону Гаусса. Для получения представления о случайном разбросе среднего арифметического относительно точного значения Х_и измеряемой величины нужно вычислить среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического. В теории погрешностей доказывается, что это отклонение в √n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения, т.е.

σ(х_ср) =√ Σ Δ_i² / n (n - 1) (Δ_i = Х_i – Х_и или Δ_i = Х_i – Х_д )

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения (Х_i) относительно среднего арифметического значения результата измерения (Х_ср) среднеквадратическое отклонение (σ), определяют:

σ = √ Σ Δ_i² / n, при n ≥ 20; σ = √ Σ Δ_i² n - 1, при n < 20.

Закон Стьюдента описывает плотность распределения вероятности среднего арифметического (р(t_х)) и применяют при обработке небольшого числа результатов (n<20) и, он справедлив, когда плотность вероятности случайных погрешностей распределена по нормальному закону. t_x- принято называть коэффициентом Стьюдента. t_x = Δ_х/σ_ср = (х - х_и)/ σ. При расчетах погрешностей задают некоторую доверительную вероятность ρ_д и число проводимых наблюдений n. Поэтому данный коэффициент обозначают через t(ρ_д, n).

Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат можно записать так:

Х_изм = Х_ср + t_х σ_Хср

Значение коэффициента t_х приведены в таблице 4.1

Таблица 4.1

n	ρ
0,5	0,8	0,95	0,98	0,99
	1,0,	3,1	12,7	31,8	63,7
	0,82	1,9	4,3	7,0	9,9
	0,77	1,6	3,2	4,5	5,8
	0,74	1,5	2,8	3,7	4,6
	0,73	1,4	2,6	3,4	4,0
	0,72	1,4	2,4	3,1	3,7
	0,71	1,4	2,4	3,0	3,.5
	0,71	1,4	2,3	2,9	3,4
	0,70	1,4	2,3	2,8	3,3

 

Грубые погрешности измерений могут сильно исказить Х_ср, σ и доверительный интервал, поэтому исключение грубых погрешностей обязательно. Существует ряд критериев для оценки промахов.

Критерий 3σ (трех сигм). В этом случае уровень значимости критерия ошибки q = 0,003, маловероятен и его относят к грубым погрешностям, т.е. сомнительный результат х_i отбрасывается, если |х_ср – х_i| > 3 σ. Величины Х_ср и σ вычисляют без учета экспериментальных значений Х_i. Данный критерий надежен при n ≥ 20.

При n < 20 применяют критерий Романовского, уровень значимостиβ = |Х_ср – Х_i|/ σ. Полученное значение сравнивают со значением, полученным теоретически (β_т) в зависимости от числа измерений (n) и выбираемой вероятности (Р) (см. табл. 4.2).

Таблица 4.2

Р	n
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,1	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,1	1,69		2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Обычно Р находится в пределах 0,01 – 0,05, и если β ≥ β_т , то результат отбрасывают.

При n < 10 используют критерий Шовине. В этом случае промахом считается результат Х_i, при котором разность |Х_ср – Х_i| в зависимости от числа измерений (n) превышает значения κ٠σ:

1,6 ٠σ при n = 3;

1,7 ٠σ при n = 6;

1,9 ٠σ при n = 8;

2 ٠σ при n = 10;

4.2 Правила округления результатов и погрешностей измерений.

Результат измерений выражается числом, содержащим значащие цифры, значащими считаются все цифры в числовом результате, в том числе и нуль, если он стоит в середине или в конце числа. Например, результат измерения напряжения (125 и 0,00125 В) содержит три значащих цифры, а (126,05 и 12 500 В) – пять значащих цифр.

Результат измерений, являясь приближенным значением, содержит некоторое количество верных знаков. Верными считаются те знаки, которые не вызывают сомнения в достоверности. Погрешность измерений позволяет определить те цифры, которые являются достоверными. Поэтому в результате измерений удерживать излишне большое число цифр, которые могут оказаться не достоверными нецелесообразно. Результат измерения, содержащий большое число цифр требуется округлять и соблюдать следующие правила округления.

 

1. В выражении погрешности удерживается не более двух значащих цифр, причем последняя цифра округляется до нуля или пяти.

Пример. Погрешность измерения тока составила 0,125 А., удерживая один знак, значение погрешности округляется до ± 0,1 А.

Погрешность измерения напряжения составила 0,152 В., удерживая два знака, значение погрешности округляется до ± 0,15 В.

2. Числовое значение результата измерения измерений должно оканчиваться цифрой или нулем того же десятичного знака, что и значение погрешности.

Пример. (125, 823 ± 0,15) В округляется до (125, 82 ± 0,15) В, где 125, 823 – результат измерения, а ± 0,15 В – погрешность измерения.

3. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя удерживаемая цифра не изменяется. Пример. (125, 721 ± 0,2) В округляется до (125, 7 ± 0,2) В.

4. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, то последняя удерживаемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. 25, 268 ± 0,4 округляется до 25,3 ± 0,4;

25, 253 ± 0,3 округляется до 25,3 ± 0,3.

5. Если первая отбрасываемая цифра равна пяти и за ней не следует значащих цифр (или следуют только нули), то округление производится до ближайшего четного.

Пример. 26, 35 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 45 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 55 ± 0,3 округляется до 26,6 ± 0,3;

10, 550 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

10, 650 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

1. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления производят с одним – двумя лишними знаками.

4.3 Пример последовательности расчетов при обработке результатов многократных наблюдений.

Для определения наиболее достоверного значения измеряемого напряжения и уменьшения влияния случайных погрешностей выполнен в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) напряжения (табл.4.3). Определить:

1. Действительное значение величины измеряемого напряжения;
2. Имеются ли в результатах измерений грубые ошибки (промахи).
3. Определить среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_рез, доверительный интервал и записать результат измерения, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

Таблица 4.3

Номер измерения
Показания единичного измерения (U, В)	149,52	150,48	152,13	151,36	150,25	150,64	149,87	150,75	153,32	152,08
Абсолютная погрешность единичного измерения	- 1,52	- 0,56	+1,09	+0,32	- 0,79	- 0,40	- 1, 17	- 0,29	2,28	1,04

 

 

Решение.

1. Вычисляем среднее значение измеряемого напряжения, которое наиболее достоверно, принимаемое за действительное: U_ср.=∑U_i / n, где i – номер единичного измерения

U_ср.=∑U_i / n = 149,52+150,48+152,13+151,36+150,25+150,64+149,87+150,75+153,32+153,32 / 10 = 151,04 В

2.Находим абсолютную погрешность каждого измерения: ΔU_i = U_i – U_ср (алгеброически)

ΔU₁ = U₁ – U_ср = 149,52 - 151,04 = - 1,52 В

ΔU₂ = U₂ – U_ср = 150,48 - 151,04 = - 0,56 В

ΔU₂ = U₃ – U_ср = + 1,09 В

ΔU₂ = U₄ – U_ср = + 0,32 В

ΔU₂ = U₅ – U_ср = - 0,79 В

ΔU₂ = U₆ – U_ср = - 0,40 В

ΔU₂ = U₇ – U_ср = - 1,17 В

ΔU₂ = U₈ – U_ср = - 0,29 В

ΔU₂ = U₉ – U_ср = + 2,28 В

ΔU₂ = U₁₀ – U_ср = + 1,04 В

 

3. Проверяем правильность вычислений: для этого определяем сумму абсолютных погрешностей всех единичных измерений, которая должна быть равна нулю:

– (1,52 + 0,56 + 0,79 + 0,40 + 1,17 + 0,29) + (1,09 + 0,32 + 2,28 + 1,04) = 0

Проверка показа, что вычисления выполнены правильно.

1. Вычисляем среднеквадратическое отклонение погрешности σ, которое характеризует случайную погрешность единичного измерения:

σ = √ Σ ΔU_i² / n - 1 =

= √ (2,31+0,3136+1,188+0,1024+0,6241+0,160=1,369+0,084+5,198+1,082) / 10 - 1 = 1,166 В

С помощью критерия 3σ оценим отклонения единичного измерения U_i от среднего U_ср. Если результаты измерений отклоняются от U_ср больше чем на 3σ, то эти результаты не учитываются. В нашем примере 3σ = 3 ·1,166 = 3,5 и, как следует из табл. 1.4 ни одно из ряда измерений не отклоняется от U_ср. = 151,04 В. Следовательно, грубых ошибок (промахов) в полученном ряде измерений нет.

4. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического (среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_рез) σ_рез = σ / √ n = 1,16 / √ 10 = 0,366 В

Для количества измерений 2 < n < 20 при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента t(ρ, n), который зависит от количества измерений n и задаваемой доверительной вероятностью ρ (табл. 1.2).

Для определения доверительного интервала среднеквадратическую погрешность σ_рез надо умножить на коэффициент Стьюдента t(ρ, n). Для рассматриваемого примера зададим доверительную вероятность ρ = 0,95; n = 10. Из табл. 1.2 находим t(ρ, n) = 2.3, тогда доверительный интервал равен ± 2,3 · σ_рез. Результат измерения можно записать так: Х_изм = Х_ср ± 2,3 · σ_рез.

Х_изм = 151,04 ± (2,3 · 0,366) В = 151,04 ± 0,84 В

 

5. Задание выполнения практической работы

Для определения наиболее достоверного значения измеряемого напряжения и уменьшения влияния случайных погрешностей выполнен в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) (табл. 1.5).

Таблица 5.1

Вариант	Единицы измерения	Номер и результат измерения	ρ
	В	54,21	69,21	56,41	59,05	57,12	58,11	60,02	57,09	58,37	59,67	0,95
	Гц	999,11	1001,07	998,12	1000,09	999,14	977,16	1003,09	993,18	1000,04	998,17	0,99
	нФ	450,80	497,40	490,71	492,24	495,32	501,12	498,17	500,34	493,14	489,08	0,8
	мВт	49,52	50,61	48,75	50,06	52,16	48,18	50,22	49,09	47,31	38,82	0,95
	мВ	59,01	63,03	57,37	60,03	59,04	58,11	62,51	61,11	50,06	60,02	0,95
	Ом	283.02	240,65	238,78	242,54	238,72	241,12	243,17	241,21	239,57	238,92	0,8
	пФ	82,12	78,26	79,31	80,27	79,36	83,14	80,23	79,37	80,41	70,89	0,98
	мА	28,0	36,3	37,5	36,0	37,4	33,6	37,5	34,4	37,5	33,6	0,8

 

Порядок выполнения работы.

1. Приведите таблицу 1.6 с данными Вашего варианта.

Таблица 5.2

Вариант

Единицы измерения

Номер и результат измерения

ρ

 

2. Определите:

2.1 Действительное значение величины измеряемого напряжения.

2.2 Имеются ли в результатах измерений грубые ошибки (промахи).

2.3 Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σ_рез, доверительный интервал и записать результат измерения, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

2.4 Сделайте вывод по работе

Контрольные вопросы

1. Что такое погрешность?

2. Перечислите причины появления погрешностей.

3. Чем отличаются абсолютная, приведенная погрешность?

4. Чем отличаются систематические, случайные и грубые погрешности?

5. Назовите основные законы распределения случайных погрешностей.

6. Когда используется распределение Стьюдента?

7. Назовите правила округления результатов измерений.

 

Литература

1. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник /Ю.И. Борисов, А.С. Сигов, В.И. Нефедов и др; Под редакцией профессора А.С. Сигова. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 336 с. (Профессиональное образование).

ISBN 5-8199-0171-1 (ФОРУМ)

ISBN 5-16-002305-4 (ИНФРА-М)

2. Клевлеев В.М., Кузнецова И.А., Попов Ю.П.Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 336 с. (Профессиональное образование).

ISBN 5-8199-0061-8 (ФОРУМ)

ISBN 5-16-001156-0 (ИНФРА-М)

3. Электрорадиоизмерения: Учебник / В.И. Нефедов, А.С. Сигов, В.К. Битюков и др; Под редакцией профессора А.С. Сигова. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004. – 384 с. (Профессиональное образование).

ISBN 5-8199-0103-7 (ФОРУМ)

ISBN 5-16-001607-4 (ИНФРА-М)

 

 

Приложение А

Форма титульного листа отчета практической работы