Практикум 3. Предел последовательности
| Символьные переменные, выражения и операции. Решение неравенств. Определение предела последовательности |
Символьные переменные, константы и выражения.
Поскольку переменные в системе MATLAB по умолчанию задаются как векторные, матричные, числовые и т.д, то есть не имеющие отношения к символьной математике, то для реализации символьных вычислений нужно прежде всего позаботиться о создании специальных символьных переменных.
Для создания символьных переменных используется функция sym.
Пример 1.
>> x=sym ('x');
>> whos x
Name Size Bytes Class
x 1x1 126 sym object
Grand total is 2 elements using 126 bytes
Для создания группы символьных объектов служит функция syms.
Пример 2.
>> x=sym('x');
>> syms a b c
>> y=1:5;
>> whos
Name Size Bytes Class
a 1x1 126 sym object
b 1x1 126 sym object
c 1x1 126 sym object
x 1x1 126 sym object
y 1x5 40 double array
Grand total is 13 elements using 544 bytes
Команда
x=sym('x', 'real') дополнительноопределяет х как вещественную переменную,
x=sym('x', 'positive') - как положительную (вещественную) переменную,
x=sym('x', 'unreal') - как чисто формальную переменную (т.е. не обладающую дополнительными свойствами).
Команда pi=sym(‘pi) или syms pi создаёт символьное число 
не обладающее погрешностью представления числа 
в формате с плавающей запятой. Созданная таким образом переменная заменяет системную константу до тех пор, пока она не будет очищена в текущем сеансе командой clear pi.
Символьные операции с выражениями.
Функция simplify(S) поэлементно упрощает символьные выражения массива S
Пример 3.
>> syms x y
>> v=cos(x)^2+sin(x)^2
v =
cos(x)^2+sin(x)^2
>> simplify(v)
Если упрощение невозможно, то возвращается исходное выражение.
Упражнение 3. Задать массив с элементами 
, 
и упростить его.
Функция factor(S) осуществляет поэлементное разложение элементов вектора S на множители, а целых числа – на произведение простых чисел.
Упражнение 4. Разложить на множители:
а) 
; б) 
; в) 123456789, в) 
.
Решение неравенств.
Решение неравенств осуществляется с помощью команды maple('solve','{ неравенство }',x). При этом, если неравенство имеет точное решение в радикалах, то выдаётся это решение, иначе – приближённое численное.
Для того, чтобы получить приближённое числовое решение из точного, необходимо применить команду vpa(ans, n), где n – число цифр в выводимом ответе.
Решение системы неравенств осуществляется с помощью команды maple('solve','{ неравенство1, неравенство 2, неравенство 3 }',x).
Пример 4. Решить неравенство 
. Решить задачу графически и с помощью команды maple('solve','{ неравенство1, неравенство 2, неравенство 3 }',x).
1. графическое решение
Скрипт
axis equal
hold on
grid on
x=-3:0.1:3;
y=abs(x.^2-3);
plot(x,y,'g','LineWidth',2) % 'LineWidth' - делает кривую толще
y2=3*(x.^0); % x.^0 - делаем массив x состоящим из единичек, затем домножаю на 3.
plot(x,y2,'r','LineWidth',3)
legend('y=|x^2-3|','y=3') % подписываем каждый график
title('Решить нерванество |x^2-3|>3')
Вывод 1. По рисунку видно, что примерный ответ будет
>> syms x
>> maple('solve','{abs(x^2-3)>3}',x)
ans =
[{x<-6^(1/2)}, {6^(1/2)<x}]
Вывод 2. С помощью maple при необходимости можно получить более точный ответ
(обязательно перебиваем формулу!)
>> vpa(ans,5)
ans =
[ {x<-2.4495}, {2.4495<x}]
Упражнение 5. Решить задачи графически и с помощью команды maple (получить точный (“maple(…)”) и приближённый (“vpa”) ответ):
а ) 
б) 
Объяснить результат пункта б) полученный после выполнения команды maple.
Определение предела последовательности.
Определение. Число 
называется пределом последовательности 
при 
стремящемся к бесконечности (
), если для любого 
найдётся номер 
такой, что при всех 
выполняется неравенство 