Механика 3 Динамика вращательного движения
Момент силы относительно произвольной точки О называют вектор 
, определяемый формулой 
, где 
– вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы.
Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из начала вектора на линию действия силы.
Момент импульса материальной точки относительно произвольной точки О называют вектор 
, определяемый формулой 
, где – радиус-вектор материальной точки.
Момент импульса материального тела 
.
Главный момент системы внешних сил, действующих на материальное тело 
.
Теорема об изменении момента импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси
,
где 
– момент силы, 
– момент импульса.
Связь момента импульса и угловой скорости абсолютно твёрдого тела 
.
Моменты инерции однородных сплошных тел:
момент инерции однородного сплошного тонкостенного цилиндра (цилиндрической поверхности) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии 
;
момент инерции сплошного однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси симметрии 
;
момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец перпендикулярно оси стержня 
;
момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его центр масс перпендикулярно оси стержня 
;
момента инерции однородного сплошного шара массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр 
.
Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями 
.
Работа внешних сил при вращении твёрдого тела: 
, если 
, то: 
. Здесь Mz – проекция момента внешних сил на ось 0Z, совпадающую с осью вращения (φ 2 – φ 1) – угол поворота.
Основное уравнение динамики вращательного движения: 
или 
, или 
.
Ф1.3.1 Основное уравнение динамики вращательного движения
Ф1.3.1-1
Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке.
Укажите график, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени.
| 1*:  2: 
3:  4: 
|
Основное уравнение динамики вращательного движения определяет, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на проекцию углового ускорения на ось координат, совпадающую с осью вращения равно сумме проекций моментов внешних сил, действующих на тело:  , где М z – проекция момента внешних сил. С учётом определения углового ускорения основное уравнение динамики вращательного движения: на графике  Для модулей ω и М  . В результате интегрирования от 0 до t 1 и от t 1 до t 2 получаем:  . Исходя из условия и графика зависимости M (t) имеем: при 0 < t < t 1: M =const, ω 0=0  – зависимость прямо пропорциональная; при t 1 < t < t 2: M =0, ω 1= ω 2  . Этому результату соответствует график 1 зависимости ω (t) Ответ: 1
|
Ф1.3.1-2
К стержню приложены 3 одинаковые по модулю силы, как показано на рисунке. Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку О.
Вектор углового ускорения направлен …
| 1. вдоль оси вращения О «от нас»* 2. вдоль оси вращения О «к нам» 3. вправо 4. влево |
В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения  , где ось 0Z направлена вдоль оси вращения от «нас». Момент силы  определяется соотношением  , где  – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы . Момент силы  направлен вдоль оси вращения «к нам». Моменты сил  и  определяются соотношениями  и  , где  и  – радиус-векторы, проведённые из точки О в точки приложения сил и . Моменты сил  и  направлен вдоль оси вращения «от нас». Поскольку М1+М3 > М2, то суммарный момент сил  направлен «от нас». Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что угловое ускорение также направлено «от нас». Ответ: 1
|