ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Применение первой производной к исследованию функции и построению графика.

2. Применение второй производной к исследованию функциии построению графика.

3.

4.

Практическаяработа №4
Тема:Нахождение неопределенного интеграла.

Цель: Научиться находить неопределенный интеграл функции разными методами интегрирования.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных: , где С – постоянная.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функций. Правила интегрирования:

1) 2) 3)

4) 5)

Таблица интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулыдля:

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

Найти интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Первообразная функции. Свойства. Таблица.

2. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица.

3. Способ подстановки для интегрирования неопределённого интеграла.

4. Способ интегрирования по частям.

5. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Практическаяработа№5
Тема:Решение задач на применение интегралов.

Цель: Научиться находить площадь криволинейной трапеции и поверхности вращения,объем тела вращения, длину кривой.Научиться исследовать на сходимостьнесобственного интеграл.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определенный интеграл от функции f(x) наотрезке [a,b]с неопределенным связывает формула Ньютона–Лейбница:

Основные свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

5) если на [a,b], то m(b–a)< <M(b–a).

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площадь плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x) (где а b), отрезком ab оси Оx: и отрезками прямых х=а и х = b, вычисляется по формуле , где .

Объем тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аAВb, ограниченной непрерывной кривой у= f(х) (где а b), отрезком аb оси Ох и отрезками прямых х = а и х=b, вычисляется по формуле .

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле

.

Несобственный интеграл.

В общем виде несобственные интегралы с бесконечными пределамивыглядят так:

или или .

Рассмотрим случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична.

Применим формулу Ньютона-Лейбница при условии что :

.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1.Вычислить:

2.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

3. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

4.Скорость движения точки изменяется по закону v = t ² + nt +m (м/с). Найтипуть S, пройденный точкой за (nm) секунд от начала движения.

5.Исследовать на сходимость