Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах




  1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах: ∂ Qx =∂ Py.
  2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x, y): .
  3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: .
  4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x, y) во второе уравнение:

.

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y):

.

  1. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x, y):

.

  1. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

u (x, y)= C.

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

.

где р и q — некоторые числа.

Если f(х)= 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид

(2)

Справедлива теорема: если у1 и у2– частные решения уравнения (2), причем у12 const то функция Y=С1у12y2, где С1 и С2– произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Решением данного дифференциального уравнения (2) должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции у и ее производных у' и у", взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль, надо, чтобы y, у' и у" были подобны между собой.

Такой функцией является функция у = еkx, где k– постоянная. Требуется подобрать k так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению (2).

Так как у' = еkx (kх)' = k еkx, а y" =k еkx (kx:)'=k2 еkx, то, подставляя эти значения у, у' и у" в левую часть уравнения (2), получим

.

Сокращая на множитель еkx, не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение

(3)

Это уравнение определяет те значения А, при которых функция у = еkx является решением дифференциального уравнения (2).

При решении характеристического уравнения (3) возможны три случая:

Корни уравнения Частные решения Общее решение
  Действительные различные (k1 k2) Y1=ek1x Y2=ek2x Y=C1ek1x+C2 ek2x  
  Действительные равные (k1=k2)   Y1=ek1x Y2=xek1x Y=ek1x(C1+C2x)  
  Комплексно-сопряженные () Y1=eaxcos , Y2=eaxsin Y=eax(cos +C2 sin )

 

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

    А-В Г-Е Ж-И К-М Н-П Р-Т У-Х Ц-Ш Щ-Э Ю-Я
Фамилия т                    
Имя п                    

 

ЗАДАНИЯ

1.Найти общее решение уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Решить задачу Коши:

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дифференциальные уравнения. Их виды, порядок, общее и частное решения дифференциальных уравнений.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Однородные дифференциальные уравнения и к ним приводящиеся.

4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

6. Дифференциальные уравнения высших порядков.

7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8. Поиск неоднородного решения методами вариации постоянных и неопределенных коэффициентов.

9. Задача Коши.


Практическая работа №7
Тема:Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.

Цель: научиться вычислять числовые характеристики дискретной случайной величины по данному закону распределения, строить закон распределения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Числовые характеристики.

 

Непрерывная случайная величина и ее закон распределения.

 

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

    А-В Г-Е Ж-И К-М Н-П Р-Т У-Х Ц-Ш Щ-Э Ю-Я
Фамилия т                    
Имя п                    

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Проверка качества телефонов показала, что из каждых 100 телефонов имеют дефекты в среднем n+m штук.

1) Составить ряд распределений вероятностей для X – числа исправных телефонов из взятых наудачу 4 из них.

2) Найти числовые характеристики этой случайной величины.

 

Задание 2. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: F (t) = 1 – e -0,02 t. Найти вероятность того, что за время t = n часов:

а) элемент не откажет;

б) элемент выйдет из строя.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: