Главные напряжения в сложном НДС как производные упругого потенциала

Приведем некоторые математические соотношения, позволяющие из упругого потенциала материала U рассчитывать величины напряжений по главным осям в случаях трех, - двух - и одноосного нагружения. Обычно такие соотношения записывают [34] с учетом явного вида инвариантов I₁ и I₂ (1.2.14) тензора больших деформаций (1.2.2). Такой способ не является достаточно общим при использовании других инвариантов. Поэтому будем исходить из такого вида упругого потенциала, когда энергия деформации зависит от степеней удлинений по главным осям. В [5] приведен вывод уравнений для общего случая, однако в самом начале введено понятие всестороннего давления p, явно не следующее из строгого рассмотрения уравнений механики больших деформаций. Предлагаемый здесь вывод приводит к тем же результатам, что и в [5], однако он представляется более обоснованным.

Единичный кубик деформирован по главным осям силами f₁, f₂, f₃ до размеров l₁, l₂, l₃ ( т.к. кубик единичный, то силы f_i являются условными напряжениями, а величины l_i - и размерами кубика по главным осям, и степенями удлинений одновременно).

U(l₁, l₂, l₃) – упругий потенциал материала. Его полный дифференциал:

. (П.2.1)

Приращение энергии кубика при бесконечно малом увеличении величин f_i на df_i и величин l_i на dl_i (i=1, 2, 3):

dU = f₁dl₁+f₂dl₂ + f₃dl₃. (П.2.2)

Из сравнения (П.2.1) и (П.2.2) следует

(i= 1, 2, 3). (П.2.3)

Соотношения (П.2.1 – П.2.3) получены в предположении независимости всех трех l_i. Введем несжимаемость материала, из которой следует

l₃= , , ,

. (П.2.4)

Соотношение (П.2.1) с учетом (П.2.4) примет вид:

(П.2.5)

Перепишем (П.2.5):

(П.2.6)

Соотношение (П.2.6) можно рассматривать в соответствии с (П.2.2) как результат воздействия на искомый образец в виде единичного кубика сил только по двум осям, X и Y, при этом новые условные напряжения и имеют вид

(П.2.7)

U^* - та же функция U, но зависящая от двух переменных l₁ и l₂.

Истинные напряжения:

(П.2.8)

Из соотношений (П.2.8) видно, что истинные напряжения в случае двухосного нагружения выражаются через разности истинных напряжений, действующих в случае эквивалентного трехосного нагружения. Величину называют гидростатическим давлением.

Рассмотрим случай одноосного нагружения. При этом степени удлинений по главным осям связаны соотношением

. (П.2.9)

Подставив (П.2.9) в соотношения (П.2.7), получим выражения для условных напряжений при одноосном нагружении:

, (П.2.10)

,

где - та же функция, что и U, но с учетом (П.2.9).

[1] При использовании термина «максимальный» имеется в виду, что отклонения могут быть как со знаком +, так и со знаком –.

[1] ИСО 9000. Общее руководство качеством и стандарты по обеспечению качества. - 1987

[2] ИСО 8402. Качество. Словарь. - 1987

[3] ИСО 9004. Общее руководство качеством и элементы системы качества. - 1987

[4] Днепропетровская комплексная система управления качеством продукции и эффективным использованием ресурсов. - Днепропетровск, «Проминь», 1981 - 512 с.

[5] Соколовская Ф.М., Яшунская Ф.И. Управление качеством продукции резиновой промышленности. - М.: «Химия», 1982 - 156 с.

[6] Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: «Наука», 1976 - 279 с.

[7] Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Зарубежные статистические исследования – М.: Статистика, 1973г., 392 с.

[8] Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной матеиатики. Гос. изд-во физ.-мат. литературы. М.: 1969 г. – 660 с.