Платежная матрица не имеет седловую точку




 

 

Если же игра не имеет седловой точки, то ни одна из стратегий Аi или Вj не является оптимальной. Тогда стратегии нужно "смешивать", чередовать случайным образом с какими-то вероятностями. Смешанные стратегии в теории игр представляют модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведёт себя противник в данной партии.

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2,..., An с вероятностями p1, p2,..., pi,..., pn причем сумма вероятностей равна 1:

При этом выигрыш игрока A будет не меньше некоторого значения V, называемого ценой игры. Это значение больше нижней цены игры, но меньше верхней.

 

Аналогичны образом должен вести себя игрок B. Его оптимальная стратегия также есть некоторая смешанная стратегия или в виде строки SB=(q1, q2, …,qm), где qj — специально подобранные вероятности, с которыми игрок B использует стратегии Bj. Сумма вероятностей равна 1:

При выборе игроком B оптимальной смешанной стратегии выигрыш игрока A будет не больше цены игры V.

Таким образом, выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры V. Цена игры удовлетворяет неравенству α≤v≤β, где α и β — нижняя и верхняя цены игры.

Решением игры называется такая пара стратегий — в общем случае смешанных, систематическое применение которых обеспечивает каждой стороне максимально возможный для нее по условиям игры выигрыш, определяемый ценой игры. Если же одна из сторон отступает от своей оптимальной стратегии (в то время как другая продолжает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно для отступающего; это либо оставит его выигрыш неизменным, либо уменьшит.

 

Пример 2. Предприятие может выпускать два вида продукции (A1 и А2), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может оказаться в одном из двух состояний (В1, В2,). Задана матрица, ее элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-го вида продукции и j-ом состоянии спроса (таблица 5.4).

Определите оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Платежная матрица

B1 B3
A1    
A2    

Решение.

Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей/ Определим верхнюю и нижнюю цены игры: = 4, = 6. Как видно, седловая точка отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: A* =(p1, p2), B* = (q1, q2). Игра 2х2.

 

Формулы для расчета вероятностей стратегий для игры 2х2.:

 

Для игрока А ;

 

 

Для игрока В ;

 

 

Цена игры (средний выигрыш)

 

В примере:

;

 

;

 

Цена игры (средний выигрыш) равен:

Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция А1 должна составлять 62,5% от общего объема выпущенной продукции, продукция А2 – 37,5%. Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в размере 5,25 при любом характере спроса.

https://www.math-pr.com/game_theory_1.php

Расчет вероятностей стратегий для игры размером mхn.:

 

Пример 3. Предприниматель А выпускает 3 вида товаров: А 1, А2, А3, которые он хочет реализовать на рынке, где возможная продажа аналогичных товаров конкурента В составляет В1, В2, В3. Предпринимателю стали известны возможное количество продукции каждого вида, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента.

Нижняя и верхняя цена игры

B A В1 В2 В3 αi
А1        
А2        
А3       4*
βj   6*    

Решение

Проверим игру на наличие седловой точки: = 4, = 6. α ≠ β. Седловая точка отсутствует.

Нижняя цена игры равна: α= 4, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 4 А должнен придерживаться стратегии A3

 

Верхняя цена игры равна: β= 6, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 6 противник (игрок "B") должен придерживаться стратегии B2

 

Решая задачу, получим:

  V=5,4 p1=0,4 р2=0 p3=0,6 А = (0,4, 0, 0,6), V=5,4 q1=0,2 q2=0,8 q3=0 В = (0,2, 0,8, 0),    

 

Таким образом, чтобы гарантировать себе средний выигрыш не менее 5,4 независимо от поведения конкурента, предприятию А следует выпускать около 40% продукции А1 и около 60% продукции А3, продукцию А2 – не выпускать.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: