В Онтологическом доказательстве Гёделя бог, существование которого он доказывает, это объект, обладающий свойством божественности, что означает, что он обладает всеми позитивными свойствами. Что такое «позитивное свойство» в тексте доказательства не определяется, а в другом месте Гёдель говорит об этом довольно расплывчато (цитата будет ниже). Это, конечно, не потому, что он чего-то не понимает, а потому, что для самого доказательства важно всего лишь чтобы указанные свойства удовлетворяли пяти аксиомам. Эти аксиомы полезно иметь сформулированными и прокомментированными в одном месте (в этом и есть цель настоящего текста). Дальше останется сущая мелочь:) - осознать аксиомы, убедиться, что можно сформулировать такую концепцию позитивности, чтобы она им удовлетворяла, сформулировать хотя бы для себя, для внутреннего использования, определение позитивности и сравнить его с Гёделевским.
Итак, чтобы с чего-то начать:
· Есть объекты, вещи (например, любой предмет, скажем, мяч, обозначим его m)
· У объектов есть свойства, например, «быть красным», обозначим это свойство R
· Тогда записью R(m) будем обозначать утверждение, что (этот) мяч — красный
· Его отрицание (мяч не красный) запишем как R(m) (то есть обозначим отрицание, «не», как. Также пишут «~» (Гёдель так и писал, ~R(m)).
· Гёдель полагает, что (по крайней мере некоторые) свойства могут быть позитивными либо быть не таковыми. Запишем утверждение, что свойство R позитивно, как P(R).
Это все, что мы пока знаем про позитивность. Теперь аксиомы. Нумеровать их будем в порядке, удобном для нас, а не так, как у Гёделя, тем более, что и там есть некоторый разнобой.
· Аксиома 1: Если свойства φ и ψ позитивны, то свойство «φ и ψ» также позитивно.
· Аксиома 2: Если φ — позитивно и необходимо1 влечет за собой ψ, то последнее тоже позитивно
· Аксиома 3: Если свойство φ позитивно, то φ («не φ») - не позитивно, и наоборот, если φ — не позитивно, то φ позитивно.
С первой аксиомой все интуитивно более или менее понятно и логично: если свойства позитивны по отдельности, то наличие их обоих одновременно — тоже позитивно. Это, очевидно, продолжается на любое количество свойств. На всякий случай, чтобы не забыть, пишем на полях слово «совместимость».
Со второй — тоже вроде все понятно. Рассмотрим мир, где существует объект A (мяч) и 2 свойства, φ (веселый) и ψ (звонкий). Если в каждом таком мире любой мяч, который веселый, всегда и звонкий, то если «веселый» - позитивное свойство, то «звонкий» - тоже. («Мой веселый, звонкий мяч, ты куда пустился вскачь?» - это из мира, в котором пребывал Маршак, когда писал это стихотворение).
Есть, однако, другой пример. Как мы все помним, однажды глокаякуздрабудланулабокра, да не просто так, а штеко, а потом еще некоторое время кудрячилабокренка.
Позитивное ли свойство «глокость»? Можно (не приведет к противоречию) сказать, что да, штеко (например, ласково) будланула (например, окликнула) бокра и кудрячит (гладит по голове) бокренка, а все потому, что глокая!
А придем ли мы к противоречию, если скажем, что всякая глокаякуздра не только глокая, но еще и «млокая»? Например, глупая (ограниченная в знании, явно не позитивное качество)? Видимо нет, не придем. Никто никогда не видел глокой, но не глупой куздры. Равно как и любой другой. Мораль: уже вторая аксиома некоторым образом связана с возможностью существования объекта, обладающего позитивным качеством.
С третьей аксиомой: уже видно, что «быть красным» - скорее всего не позитивное свойство, поскольку, например, из «быть зеленым» следует «не быть красным», а «быть зеленым» ничем не отличается от «быть красным». Так же видно, что оно и не «не позитивное». Какое подобное свойство может быть позитивным? «Обладать цветом»?
Тут тоже все не очень просто. Гёдель определяет, что объект обладает свойством «божественности» (обозначается G, от God) если он обладает всеми позитивными свойствами. Иными словами, в некотором смысле божественность — суперпозиция всех позитивных свойств. Просамупозитивностьонпишет: «Positive means positive in the moral aesthetic sense (independently of the accidental structure of the world)... It may also mean pure attribution as opposed to privation (or containing privation)».
Переводится это примерно так:
Позитивный означает позитивный в морально эстетическом смысле (независимо от случайно сложившейся структуры мира)... Это также может означать чистую атрибуцию (присвоение, обогащение) в противоположность лишению (или содержащему лишение, от слова «лишить», изъять, убрать и т.д.)
В каком-то смысле мы хотим сформулировать максимально широкий круг свойств, совместимых с нашим внутренним представлением об идеальном (вездесущем, всеблагом, всеведущем... - заметьте эти «все-») Так возникает Гёделевский «моральный и эстетический смысл». Тут еще нужно вспомнить о теологической традиции, согласно которой любое отрицательное качество не существует само по себе, а является недостатком, отсутствием положительного. Уродство — недостаток красоты. Жадность — недостаток щедрости. Наконец, зло — отсутствие добра.
· Аксиома 4: Если свойство позитивно, то оно необходимо позитивно.
Иными словами, отрицание его позитивности приведет к логическому противоречию. Оно позитивно во всех возможных мирах.
2 слова о «возможных мирах» и модальностях:
Истина может быть необходимой — это та, отрицание которой приводит к противоречию. Пример: 1+1 = 2. Можно сказать, что мирагде это не так, быть не может.
Мой монитор — серебристого цвета. Это утверждение также истинно. Однако оно вполне могло бы быть ложным, и никакого противоречия ни с чем не возникло бы. Легко можно вообразить себе мир, где я работаю, скажем, за красным монитором.
Модальность «необходимо» обычно обозначается символом «квадратик», □ (у Гёделя — буквой N). Другие модальности — возможность (обозначается ромбиком, ◊), случайность (треугольник, ∆). Есть временные, пространственные и множество других видов модальностей, но нам здесь они не интересны.
Итак,
· «φ необходимо» означает что отрицание φ, φ, приводит к логическому противоречию. Говорим, что φ истинно во всех возможных мирах.
· «φ возможно» означает, что «не φ» не является необходимым. Говорим, что φ — истинно в каком-то из возможных миров.
· «φ случайно» означает, что и φ и «не φ» оба возможны.
Аксиома 4 говорит, что если свойство позитивно, то оно позитивно во всех возможных мирах. Есть ли необходимо истинные утверждения? Есть, пример был выше, 1+1=2. Согласуется ли эта аксиома с внутренним пониманием позитивности как «атрибуции, в отличие от лишения» - думаю, да. Если некоторое качество обогащает объект в одном мире, то оно обогащает его и в любом другом, где такой объект и такое качество существуют. Согласуется ли она с пониманием позитивности «в моральном и эстетическом смысле», которое у нас уже начало возникать к этому моменту? Мне кажется да, особенно если принять точку зрения, что отрицательное — это недостаток положительного.
Наконец, последняя
· Аксиома 5: Необходимое существование позитивно.
Гёдель дает строгое определение понятию «необходимое существование», но здесь оно не важно. Мы знаем, что это - существование, и (видно, если посмотреть на определение) сказать, что объект существует необходимо, означает сделать о нем более сильное утверждение, чем просто сказать, что он существует. Можно поэтому начать с того, чтобы попытаться понять может ли просто существование быть позитивным свойством. Или не позитивным. Или вообще — свойством? В любом случае, до основного утверждения Гёделевского текста тут уже близко