Возвращаясь на шаг: доказательство Гёделя — это 5 аксиом плюс 2 понятия, из которых и следует собственно теорема. Аксиомы определяют класс позитивных свойств (а сам бог, существование которого он доказывает, это то, что обладает всеми позитивными свойствами). Понятия — это «сущность» и «необходимое существование». Аксиомы мы перечислили и (поверхностно) прокомментировали в предыдущем тексте. Для доказательства важно, и мы это еще раз увидим ниже, чтобы существовало хотя бы одно позитивное свойство. Это условие, видимо, выполняется, хотя это не так очевидно, как может показаться на первый взгляд.
Теперь несколько слов о понятиях. Первое понятие - «сущность».
Скажем, что некоторое свойство φ является сущностью некоторой вещи x если из этого свойства необходимо вытекают и все прочие свойства, которыми обладает эта вещь.
Иными словами: свойство φ называется сущностью объекта x если любой объект y, который обладает этим свойством, необходимо обладает и всеми другими свойствами, которыми обладает х.
Запишем это определение так:
· φ ess x ∀ ψ { ψ(x) → □ [ φ → ψ ] }
и переведем эту запись дословно:
· (Свойство) φ является сущностью (объекта) x если для всех (свойств) ψ верно следующее: если x обладает ψ, то необходимо верно, что φ влечет за собой ψ.
Что означает, что «одно свойство (φ) влечет за собой другое (ψ)»? Это означает, что для любого (объекта) y верно, что если y обладает φ, то он обладает и ψ:
· φ → ψ ∀ y [ φ(y) → ψ(y) ]
В нашем определении это импликация должна выполняться необходимо. Иными словами, ее отрицание должно приводить к логическому противоречию; она должна быть верна в любом мире.
Пример: пусть φ(y) означает, что y тяжелее 100 кг, а ψ(y) — что y тяжелее 50 кг. Тогда в любом мире φ(y) → ψ(y). Это верно с необходимостью.
Другой пример: так случилось, что все мои соседи — моложе 30 лет. Иными словами, если некто — мой сосед, то этому некто — меньше 30 лет. Это также верно, но отнюдь не необходимо (а случайно).
С понятием сущности связан ряд ряд вопросов. Рассмотрим, например, цепочку понятий «сфера —> мяч —> зеленый мяч —> мой зеленый мяч —> мой зеленый мяч с царапиной». Сущность сферы определяется легко, это просто математическое определение. Дальше, с каждым ступенью конкретизации (сообщения большего количества предикатов), становится все сложнее. Мяч — «что-то приблизительно сферическое для игры», зеленый мяч — тоже понятно, затем вступает в действие уже индивидуальная история этого мяча. В конечном пределе определение сущности сводится к называнию, указыванию имени, метки, обозначающей весь комплекс предикатов «Мой зеленый мяч, который лежит на шкафу, с царапиной, которая образовалось когда я в прошлом году попал им в окно соседа». «Мой сосед, тот, которому 25 лет, высокого роста, который живет к квартире напротив, а в прошлом году мы еще вместе ходили на рыбалку...» Сказать так — все равно, что назвать имя. Заметим однако, что сам предел, называние имени («Это — Вася!») предиката не составляет!
Второе понятие: «необходимое существование». Записывается оно так:
· E(x) ∀ φ [ φ ess x → □ ∃ x φ(x) ],
что означает:
· объект x обладает свойством «необходимого существования» (будем говорить «существует необходимо», не путать с последовательностью символов ∃ □ или □ ∃), если для любого свойства φ верно следующее: если φ — сущность х, то необходимо существует объект, который обладает этим свойством φ. Иными словами, такой объект существует в каждом мире. Сущность объекта необходимо экземплифицирована.
Теперь видно, что для того, чтобы проверить обладает ли объект свойством необходимого существования, нужно:
1. Выделить (сформулировать, понять, определить) его сущность, и
2. Убедиться, что объект с такой сущностью существует во всех возможных мирах, то есть что отрицание его существования приводит к противоречию.
Сложным здесь является пункт первый. Чтобы немного освоиться на новой местности:
Каждый ли объект обладает сущностью? Скорее всего да. Должен ли при этом существовать сам объект? Нет. Можно ли указать сущность любого объекта? Это более тонкий вопрос. Может ли объект существовать, но не быть «необходимо существующим»? Разумеется, сколько угодно. Есть ли примеры необходимо существующих объектов — да.
Объект: мяч (вообще). Что такое сущность мяча? Можно попытаться сказать, что сущность мяча в том, что это приблизительно шарообразной формы объект, который можно использовать для игры. Существует ли мяч необходимо? Нет. Можно вообразить себе миры, где плотность атмосферы или сила тяготения таковы, что игр с мячом просто не придумали. Могут ли у конкретного мяча быть другие, «не существенные» свойства? Разумеется, любое случайное свойство — цвет, материал, наличие царапины, полученной, когда я им выбил соседское окно, и вообще вся его индивидуальная история. Могут ли какие-то случайные свойства рассматриваться как существенные в каких-то ситуациях? Да! Элементом сущности конкретного мяча может быть например то, что именно им была сыграна одна из игр чемпионата мира.
Объект: целое (или вещественное, или комплексное) число (или любой другой математический объект). Существует ли оно необходимо — да. В любом возможном мире, в том числе и в нашем, есть числа и все математические объекты, в том числе и те, которые нами еще не открыты. Таковыми были, скажем, римановы многообразия до рождения Римана или множества Мандельброта — до того, как Мандельброт опубликовал свою первую работу.
Объект: Евгений Онегин. Существует ли он? Нет. Обладает ли он сущностью — несомненно, о чем и писано множество школьных сочинений. Экземплифицирована ли его сущность в нашем мире? Вполне возможно! Есть множество примеров того, что литературные герои писались с реальных прототипов. А в любом другом? Отнюдь! Кстати, кому интересно, можно убедиться, что в нашем мире существует (экземплифицировано) сколько угодно объектов, сущность которых определяется через сущности несуществующих объектов. Пример — портрет Евгения Онегина в книге на полке.
Является ли свойство необходимого существования предикатом (вспоминаем Канта)? Да, и оно высказывает суждение об объекте. Является ли оно позитивным свойством? Разумеется! Должен ли, значит, обладать этим свойством бог по Гёделю? Да, это следует из определения Гёделя.
Объект: бог в смысле Гёделевского определения. Это то, что обладает всеми позитивными качествами. Может ли бог обладать непозитивным качеством? Нет, поскольку согласно третьей аксиоме, если каждое непозитивное качество является отрицанием позитивного. Может ли он обладать качеством, которое не является ни позитивным, ни непозитивным? Видимо, нет. Бог не может быть «красным» поскольку тогда он «не зеленый», а свойства быть красными или зеленым абсолютно равнозначны. Бог не может обладать положительным электрическим зарядом, поскольку это ничем не лучше и не хуже, чем обладать отрицательным. Эти свойства не являются ни позитивными, ни непозитивными. Они случайны. Объект «элементарная частица» может быть заряженной положительно, отрицательно, или иметь нулевой заряд. Часть ее сущности — обладание самим качеством «электрического заряда». Какой именно заряд экземплифицирован в рассматриваемой нами частице — дело случая, смотря какую частицу мы изучаем, скажем, электрон или позитрон. Другой пример — пресловутый корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. Обладает ли электрон качествами частицы? Да, в некоторых ситуациях. Обладает ли он свойствами волны? Да, в некоторых ситуациях! Является ли любое из этих качеств позитивным? Разумеется, нет! Какое свойство является тут позитивным? Это самое свойство «корпускулярно-волнового дуализма», а именно, свойство обуславливающее возможность проявлять как те, так и другие качества.
Вот теперь уже становится понятным, что божественность предопределяет все качества бога, то есть является его сущностью.
И наконец, последний шаг доказательства Гёделя:
Нетрудно видеть, что для любого позитивного качества возможно существование объекта, который этим качеством обладает:
· P(φ) → ◊ ∃ x φ(x)
Действительно, если бы такой объект был бы невозможен, то свойство φ подразумевало бы любые другие, а значит не могло бы быть позитивным. Иными словами, любое позитивное качество экземплифицировано в объекте в каком-то из возможных миров. Как мы уже сказали, необходимое существование является позитивным качеством (это аксиома А5). Значит, в каком-то возможном мире существет объект, обладающий качеством необходимого существования. Значит, он существует и во всех мирах. В том числе и в нашем.
В следующем, надеюсь, последнем тексте на эту тему я просто сформулирую еще раз докательствоГёделя в его более современной нотации.