Основы геометрии. Начала Евклида.

Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий... я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя - оно тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится; никогда несчастный род человеческий не достигнет совершенной истины, даже в геометрии! из письма математика - отца Ф. Боуи математику - сыну Я. Боуи, посягнувшему на 5 постулат Евклида Геометрия - не самая простая из научных дисциплин, если изучать ее по современным учебникам. Однако спешу вас заверить, что если вы лепили в детстве колобка из пластилина, не говоря уж о чебурашках и прочих сказочных персонажах, или хотя бы рисовали на обоях, то геометрию вы знаете. Не всю конечно геометрию, но в объеме, достаточном для понимания этой статьи. Более того и колобок и каракули на обоях с точки зрения геометрии достаточно сложные геометрические фигуры, описать их с использованием математического аппарата гораздо сложнее, чем слепить колобка или разрисовать обои. Мы такие сложные фигуры рассматривать не будем, во всяком случае пока. Просто рассмотрим, что является предметом изучения геометрии и самое главное - зачем все это нужно.

Сразу предупрежу - мое изложение может сильно расходиться с официальной версией, но я, не являясь лицензированным преподавателем, могу себе такое позволить. Честно говоря - пишу цикл статей по геометрии для своих детей, им вскоре предстоит погрузиться в этот загадочный и непонятный мир параллельных линий и я не хочу, чтобы их постигла такая же судьба, как Я. Боуи. Янош Боуи параллельно с Лобачевским и Гауссом разрабатывал начала неевклидовой геометрии, в которой параллельные прямые пересекаются, однако труд его не был оценен по достоинству современниками. После неудачного участия в конкурсе на премию Лейпцигского ученого общества "по вопросу об усовершенствовании геометрической теории мнимых чисел" Я. Боуи впал в тяжелую депрессию и пребывал в ней до конца жизни. Так что отец его оказался достаточно качественным ясновидцем. Впрочем, приведенное в эпиграфе письмо только подтверждает, что сила эмоционального удовольствия от логического мышления для некоторых людей во много раз сильнее обычных житейских радостей. Если подобные последствия на пути постижения мира вас не пугают, то можно и продолжить изучение геометрии. Основные определения Различные варианты определений для большинства геометрических фигур существовали задолго до Евклида. Среди них следует выделить генетические определения, представляющие метод создания геометрической фигуры (например, если повернуть циркуль на 360^о, то получится окружность), к ним примыкают форономические (кинематические) определения, в которых элемент геометрии или геометрическая фигура рассматривается как результат движения (например, линию можно представить как траекторию движения материальной точки, а поверхность, как траекторию движения линии). Но Евклид первый классифицировал признаки, общие для любых геометрических фигур и таким образом выделил составные элементы любой геометрической фигуры. Из этих элементов и строится геометрия Евклида. Такие понятия как длина, ширина и высота, Евклидом вообще не рассматриваются. Предполагается, что это интуитивно постигаемые понятия. Почти все определения Евклида являются описательными, или как говорили раньше, номинальными, т.е. ничего не доказывающими. Всего три определения в книге XI - для шара, конуса и цилиндра, у Евклида являются генетическими. Евклид четко разделяет элементы геометрии и геометрические фигуры. Давая определения геометрическим элементам и фигурам, Евклид придерживался четкого логического ряда: от простого к сложному, от общего к частному. Так сначала Евклид дает определение элементов геометрии, сначала точки, затем общее определение линии. После общего определения линии следует определение прямой линии - частного случая для всех возможных линий. Затем следует общее определение поверхности, после чего дается определение плоской поверхности - частного случая для всех возможных поверхностей. Затем дается определение плоского угла - частного случая для всех возможных углов, затем определение прямолинейного угла - частного случая для плоских углов. Затем дается определение перпендикулярных линий - частного случая пересечения прямых линий. Таким образом Евклид как бы дает понять, где именно будут происходить дальнейшие геометрические действия. А теперь рассмотрим определения и возможные толкования определений Евклида более подробно. Первая книга "Начал" Евклида (как тут не вспомнить латинское название - "Элементы") начинается с определения точки: 1. Точка есть то, что не имеет частей. Примечание 1: здесь и далее определения, постулаты и аксиомы Евклида даются согласно перевода Д.Д. Мордухай-Болтовского (ОГИЗ, 1948 г) с греческого текста издания Гейзенберга. Сам я, не смотря на корни, греческим не владею, да и аутентичного текста начал все равно не сохранилось, а потому доверяюсь указанному переводу. Даже такое простое определение в течение многих веков понималось по-разному различными комментаторами и исследователями труда Евклида. Более поздние комментаторы, отягощенные современной теорией строения материи, на основании этого определения относят Евклида к приверженцам атомистической теории строения материи и понимают точку, как аналог неделимого атома. Ранние комментаторы, не поняв сути, пытались на основании определений других геометрических фигур дать иное, по их мнению более точное определение точки. Например, определение Герона (одного из величайших древнегреческих инженеров, сформулировавшего золотое правило механики), которое звучит так: точка есть то, что не имеет величины, основанное на определениях линии и плоскости, рассматриваемых далее, может показаться достаточно логичным, однако вступает в явное противоречие со свойствами объектов, наблюдаемых в реальном мире. Даже элементарные частицы имеют размеры, не говоря уже об атомах и потому определение Герона не может считаться правильным. А если дать определение лучу (у Евклида подобное определение отсутствует вовсе) как линии, выходящей из некоторой точки (соответствующий этому определению образ реального мира - Солнце, испускающее лучи света, которые можно явственно видеть при облачной погоде), то точка - Солнце, объемом в миллион раз превышающее Землю, никак не вписывается в определение Герона. А вот определение Евклида подходит и для Солнца и вообще для всех звезд и планет галактики, если рассматривать эти объекты относительно друг друга, т.е. при таком взаимном расположении, когда размеры объектов пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между рассматриваемыми объектами. Некоторые комментаторы (Боссю, Безу) для большей наглядности рассматривали определения Евклида применительно к решению задач кинематики, ассоциируя понятия линии, окружности и др. с траекторией движения материальной точки. Это очень хороший прием, но мы форономические методы использовать не будем. А вот удержаться от аналогий с декартовой системой прямоугольных координат я не могу. Это логично, весь окружающий мир человек воспринимает, поставив себя в центр, и только так. Всякие там расчеты, вычисления нужны большинству людей не для гимнастики ума, а для удовлетворения своих утилитарных потребностей. Потому центром мироздания является человек и пусть мир вращается вокруг человека, а всяким там Коперникам, утверждающим, что это не так, место на костре. Но в целом нельзя забывать, что мир геометрии - некий абстрактный мир, который может не иметь ничего общего с реальным миром. Впрочем, мир геометрии создан с единственной целью - помочь человеку в решении конкретных задач, а потому реальные свойства предметов могут вовсе не учитываться и искать геометрическим понятиям аналогии в реальном мире порой бессмысленно. Хотя подобные аналогии очень нужны и полезны, так как помогают лучше понять суть предмета геометрии. 1.1. Таким образом у Евклида точка - это простейший элемент, который действительно можно рассматривать как атом геометрии, не имеющий никакого отношения к реальным атомам. При этом размеры точки не то чтобы равны нулю, но считаются настолько малыми, что для упрощения решения задач размерами этими можно пренебречь А еще это означает, что в зависимости от вида решаемой задачи один и тот же физический объект окружающего нас мира (например, Солнце) может рассматриваться и как точка, и как двухмерный круг и как трехмерный шар. И если Евклид вкладывал в свое определение точки именно этот смысл, то тем самым дал первый толчок к формированию теории относительности. Можно предположить, что из точек складываются или формируются все остальные геометрические фигуры. Однако сам Евклид нигде прямо об этом не говорит. В геометрии Евклида точка может рассматриваться как отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур. Далее различные трактовки определений Евклида подробно рассматриваться не будут, а только необходимые на мой взгляд пояснения. 2. Линия - длина без ширины. 2.1. Это определение можно понимать так: Линия - это элемент геометрии, ширина и высота которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной Например, в строительной механике часто рассматриваются стержни - геометрические модели балок, при этом высота и ширина реальных балок на первом этапе расчета не учитываются, т.е. балки рассматриваются как некие геометрические линии, а точнее оси, проходящие через центры тяжести поперечных сечений. Из этого определения можно заключить, что Евклид не рассматривал линию, как геометрическую фигуру состоящую из точек, однако анализ следующих определений покажет, что это может быть не совсем так. Линия в геометрии Евклида, как и точка, может рассматриваться отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур. 3. Концы же линии - точки. Практически все комментаторы Евклида обходят это определение стороной. На первый взгляд в данном определении все достаточно просто и в дополнительных комментариях не нуждается, да и выглядит это определение, как продолжение определения №2, потому по большому счету и определением вовсе не является. Между тем - это одно из важнейших определений, без правильного понимания которого дальнейшее изучение геометрии Евклида просто бессмысленно. Во-первых, совместное рассмотрение определений №2 и №3 не позволяет сделать вывод, что линия состоит из точек и тогда линия - это качественно новый элемент геометрии, прямого отношения к точкам не имеющий, однако линия как и геометрические фигуры, рассматриваемые далее, имеет свои границы - точки. Во-вторых, определение №3 Евклида не допускает использования понятия бесконечности. Я думаю, это одна из причин, почему у Евклида нет отдельных определений для отрезка и для луча, да их и невозможно дать без использования понятия бесконечности. Примечание 2: Понятие бесконечности появилось относительно недавно, в результате развития математической науки (возможно и под влиянием христианской идеи о вечной жизни). На мой взгляд понятие бесконечности является попыткой определить то, что по умолчанию определить нельзя, тем не менее введение понятия "бесконечность" помогает решать определенные математические задачи. Мудрые греки не использовали понятия "бесконечность" в нашем понимании этого слова и далее при определении параллельных прямых Евклид (или один из его учеников) использует понятие "неопределенность". Это может показаться малозначимой мелочью, но на самом деле это один из краеугольных камней познания окружающего мира. В свое время я тоже попался на удочку "бесконечности". Когда мне было 6 лет я любил листать учебники старшей сестры и рассматривать картинки. На одной из страниц учебника был показан принцип относительности размеров: на первой иллюстрации было нарисовано яблоко и Земля, конечно же не в правильных пропорциях, а в таких, чтобы наглядно показать разницу размеров яблока и Земли. На следующей иллюстрации была нарисована Земля размером с яблоко предыдущей картинки и Солнце размером в Землю предыдущей картинки. Затем следовали иллюстрации, дающие представление о размерах солнечной системы и нашей галактики. Впрочем основную суть относительности размеров я понял после просмотра первых двух иллюстраций и задал сестре вопрос: "А где кончается Вселенная?". Сестра сказала, что Вселенная нигде не заканчивается, так как она - бесконечная. Несколько дней мы спорили по этому вопросу, но так и не пришли к единому мнению. Границы Вселенной остались для меня загадкой на всю жизнь, и, думаю, не только для меня. Но вот теперь, рассматривая основные понятия Евклида я пришел к выводу, что если бы сестра использовала вместо понятия "бесконечность" понятие "неопределенность", то никакого спора вообще не было бы. Спорить о том, что неизвестно или неопределенно, не имеет смысла. 4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Другой вариант перевода: прямая есть линия, равномерно данная своими точками. Это одно из самых важных и самых сложных определений Евклида. Как видим, ни один из вариантов перевода не приближает нас к пониманию того, что есть прямая линия. Евклид, стремясь максимально упростить изложение материала, явно перестарался, а уж комментаторы перебрали не только все возможные значения древнегреческих слов, использованных в этом определении, но и своих определений прямой линии оставили на несколько томов. Все это безусловно интересно, но подробному рассмотрению всевозможных определений прямой линии следовало бы посвятить отдельную статью, а пока, если придерживаться принятой ранее логики, то можно сделать следующие выводы: Линии состоят из точек. При этом расстояния между соседними точками всегда одинаковы, а все точки кроме крайних являются общими для составляющих линию отрезков. Однако не все точки одинаково важны при определении характеристик геометрических элементов или фигур. Именно поэтому Евклид при определении линии не упомянул о том, что линия состоит из точек, но указал, что концы линии - точки. В связи с этим я бы ввел дополнительное понятие - характерные точки. Например, у любой линии есть как минимум две характерные точки: начальная точка и конечная точка. У ломаной линии, например, состоящей из двух прямолинейных отрезков будет как минимум 3 характерных точки, так как добавится точка, в которой свойства линии изменяются. В связи с этим определение Евклида можно понимать так: 4.1. Прямая линия - это линия, у которой есть только две характерные точки: начальная и конечная. Или, прямая линия - это линия, свойства которой ни в одной из точек не изменяются, за исключением точек начала и конца. Впрочем для прямой линии можно дать и другие определения. 4.2. Прямая линия - это линия, которая состоит из множества отрезков, при этом расстояния между соседними точками (общими точками для отрезков) равны, а расстояния между не соседними точками пропорциональны расстоянию между соседними точками. Более понятным в данном случае было бы следующее определение: длина прямой линии равна сумме расстояний между точками, ее составляющими. А из этого определения можно вывести и определение кривой линии: длина кривой линии, представляющая собой сумму расстояний между соседними точками, всегда меньше расстояния между крайними точками. Но такие определения будут не совсем верными, точнее верными, но только для прямолинейных и криволинейных линий с конечной длиной. Дело в том, что прямая линия с точки зрения современной геометрии может иметь неограниченную длину, т.е. неопределенную или, как сейчас говорят, бесконечную длину и потому использовать неопределенность для определения чего-либо некорректно (см. примечание 2). 4.3. Для прямой линии всегда можно подобрать такую систему координат, при которой значения высоты и ширины для всех точек прямой линии будут постоянными, а изменяться будут только координаты длины, причем для каждой следующей точки это изменение будет составлять постоянную величину. Таким образом прямая линия - это одномерная линия И еще, если вспомнить о человеке, а если нет человека, то и геометрия никому не нужна, то, исходя из выше данного определения, можно сказать, что прямую линию всегда можно расположить так, что наблюдателю будет видна только одна точка И все. При таком определении невозможны геометрия Римана, Лобачевского и любые другие неевклидовы геометрии, точнее сказать - такое определение прямых линий не вписывается в указанные геометрии, но нам-то что? ведь мы рассматриваем именно евклидову геометрию, которая хотя и является частным случаем, тем не менее наиболее характерным частным случаем. 4.4. А между тем Евклид предельно краток и последователен в своих определениях и если допустить, что линия - это отдельный от точек элемент геометрии, ограниченный однако точками, то его определение скорее всего следует трактовать так: прямая линия - это расстояние между точками или длина прямой линии равна расстоянию между точками, прямую линию ограничивающими. Не смотря на то, что все эти определения допустимы, наиболее точно соответствующим духу Евклида я считаю определение 4.1, так как нельзя забывать о том, что понятия о функциях и уравнениях функций появились много позже (приблизительно в XVII в.), кроме того евклидова геометрия имеет дело только с фигурами и элементами, для которых есть прообразы в реальном мире, чисто математический анализ не входил в задачи геометрии. Тем не менее определение Евклида можно считать попыткой охарактеризовать прямую, как функцию длины от расстояния. Примечание 3: Прямую линию наши предки знали и использовали с древнейших времен. Пример тому - лук, тетива которого - прямая линия, да и стрелы считались хорошими, если они прямые. А целясь, человек смотрел на стрелу так, чтобы она становилась по возможности точкой да еще и совпадала с мишенью. Далее вполне логичным с современной точки зрения было бы определение луча - прямой линии, ограниченной с одной стороны точкой. Однако не смотря на кажущуюся простоту подобного определения и вполне наглядный прообраз луча в окружающем нас мире с геометрической точки зрения луч выглядит как половина неопределенности, или говоря современным языком, как половина бесконечности. Чем полубесконечность точнее бесконечности, я не знаю. Возможно и Евклид не нашел подходящего определения для луча, а потому оставил эту тему открытой. Но скорее всего с точки зрения Евклида луч не является формообразующим элементом геометрии, или существование луча в евклидовой геометрии по указанным выше причинам (отсутствие понятия бесконечности) - невозможно и луч, как элемент геометрии, древними геометрами не рассматривался. Отдельного определения кривой или ломанной линии Евклид не дает. Т.е. все линии, не являющиеся прямыми, являются кривыми или ломанными. 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 6. Концы же поверхности - линии. Из этих определений, следуя логике, использованной при рассмотрении точки, линии и концов линии, можно заключить, что: 5.1. Поверхность - это элемент геометрии, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной и шириной Сейчас можно было бы сказать, что поверхность - это то, что имеет площадь. Поверхность в геометрии Евклида, как точка и линия, может рассматриваться отдельный элемент, как элемент формообразования и как нечто общее для различных элементов и геометрических фигур. 7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена к прямым на ней. Определение плоскости Евклида еще более сложно для осмысления, чем определение прямой. На сегодняшний день существуют сотни определений плоскости, но ни одно из них, на мой взгляд, не передает кратко и точно суть плоскости. Между тем люди с древнейших времен окружены плоскостями и постоянно стремятся плоскости создавать. Сейчас мы живем в домах, которые представляют собой набор плоскостей, пользуемся мебелью, в которой плоские поверхности преобладают, а многие читают этот текст с плоского монитора. Я вижу в определении Евклида тот смысл, что: 7.1. Плоская - это такая поверхность, свойства которой не изменяются по длине и ширине. 7.2. Плоская поверхность (плоскость) - это двухмерный элемент геометрии. Это означает, что для плоскости всегда можно подобрать такую систему координат, при которой значения высоты для всех точек будут постоянными, а изменяться будут только координаты длины и ширины. Или плоскость всегда можно расположить так, что наблюдателю будет видна только одна прямая линия. На этом описание элементов геометрии, которые могут являться формообразующими элементами Евклид заканчивает. Далее следуют определения элементов геометрии, которые следует рассматривать, не как формообразующие, а как вспомогательные, т.е. дополнительно характеризующие любую геометрическую фигуру. 8. Плоский же угол, есть наклон друг к другу двух линий в плоскости касающихся, но не расположенных по одной прямой. Следует пояснить, что изначально угол мыслился, как часть целого. Например с древнейших времен зодиакальный круг был разбит на 360 частей, сейчас именуемых градусами. Но когда-то каждому градусу соответствовал день земного календаря. Такое разделение на градусы-дни появилось задолго до того, как Евклид сформулировал свою геометрию, тем не менее таким делением мы пользуемся и по сей день. Сейчас угол - это еще и одна из характеристик, которую можно использовать для определения линий, поверхностей и соотношений между ними. 8.1. Плоский угол - это важная характеристика любой двухмерной линии или линий, имеющих общую точку Еще можно сказать, что плоский угол всегда находится в одной плоскости. 9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным. 9.1. Прямолинейный угол - это линия, у которой есть 3 характерные точки Например, прямую линию можно рассматривать как множество отрезков, при этом угол между всеми соседними отрезками всегда постоянный. Для прямой линии угол между соседними отрезками равен половине целого. Угол, как и размеры, может измеряться в разных единицах. На сегодняшний день самыми распространенными являются упоминавшиеся выше градусы и радианы. За целое принимаются 360^о и 2 П, таким образом угол между соседними отрезками прямой линии всегда равен 180^оили П. Такой угол называется развернутым углом. Так как этот угол постоянен для всех соседних отрезков прямой, то для упрощения решения задач геометрии углы в 180^о как правило не рассматриваются, ведь изменений свойств геометрической фигуры в таких точках не происходит, кроме того развернутый угол - это одномерная геометрическая фигура. Между тем для задач геометрии важны точки и отрезки между которыми происходит изменение свойств. 10. Когда же прямая, восстановленная (поставленная) на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восстановленная (поставленная) прямая называется отвесной (перпендикуляром) к той, на которой она восстановлена (поставлена). По сути это определение является довольно точным описанием древнейшего человеческого оберега - креста, а заодно и основанием для формирования прямоугольной системы координат. Сейчас это определение можно сформулировать так: 10.1. Если две прямые при пересечении образуют 4 равных угла, то такие углы называются прямыми, а линии являются перпендикулярами одна к другой. Этой отвесной (перпендикулярной) линией до сих пор пользуются строители при возведении стен и используют для этого древнейший инструмент - отвес. 11. Тупой угол - больший прямого. 12. Острый угол - меньший прямого. Без комментариев. Проще и понятнее не скажешь. 13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо. 14. Фигура (форма) есть то, что находится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ. По сути эти определения можно было бы и не давать, а отнести их к интуитивно понятным, подобно понятиям размеров. Тем не менее эти определения все-таки нужны. Этим как бы подчеркивается, что ранее перечисленные элементы геометрии по большому счету геометрическими фигурами не являются, а являются частью исследуемых геометрических фигур - формообразующими элементами, или одной из дополнительных характеристик геометрических фигур. Для завершения этого логического ряда следует привести определения для трехмерных геометрических фигур, данные Евклидом в книге XI: XI.1. Тело есть, то, что имеет длину ширину и высоту, (выражаясь современным языком - имеет объем). XI.2. Граница же тела - поверхность. А теперь посмотрим, что же это в итоге дает. Большинство объектов окружающего нас мира представляют собой трехмерные тела. Например, детский кубик, с помощью которого мы начинали в детстве изучение геометрии, если описать его с помощью данных выше определений, ограничен поверхностями, при этом каждая плоскость кубика ограничена линиями, при этом каждая линия ограничена точками. Геометрия же позволяет рассматривать свойства не всего кубика в целом, а свойства каждой отдельной поверхности и даже каждой отдельной линии или точки. Например, на одной из плоскостей кубика может быть изображен круг и с точки зрения геометрии допустимо рассматривать свойства круга только по отношению к плоскости, на которой круг находится, а на остальные плоскости кубика не обращать внимания, если условия задачи того не требуют. Ну и еще, определениями №13 и №14 косвенно подтверждается, что евклидова геометрия не работает с бесконечными, т.е. не имеющими границ геометрическими фигурами. А определение №14 прямо указывает на то, что ломаная линия из трех отрезков, соединяющих три точки и треугольник, ограниченный тремя прямыми линиями - принципиально разные вещи. Далее Евклид переходит к определениям плоских геометрических фигур, составляющих основной предмет изучения школьниками и по ныне, и сначала дает определение круга, одного из древнейших и важнейших обереговых символов. 15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии (окружности), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой. 16. Центром же круга называется эта точка. Сейчас такие определения кажутся довольно неуклюжими. К тому же у Евклида отсутствует прямое определение окружности, которое по логике должно идти до определения круга. В чем же дело, ведь окружность - один из важнейших элементов современной геометрии? Возможно, причиной стала мистическая противоречивость окружности. Ведь окружность по умолчанию не может быть прямой линией, у окружности нет ни начала ни конца, в то же время окружность не могла быть ломанной линией в представлении древних греков и потому была выделена в особый вид линии. А с другой стороны окружность приближается к прямой линии, если радиус ее достаточно велик и выходит, что угол между соседними отрезками приближается к развернутому. По сути эти противоречивые свойства окружности имеют место и сейчас. Более того, любую прямую можно рассматривать, как часть окружности с бесконечно большим радиусом, т.е. прямая это частный случай окружности. А из этого следует, что и плоскость, описанная Евклидом, не более чем частный случай сферы или любой другой объемной геометрической фигуры. Это впоследствии и позволило создать разного рода неевклидовы геометрии. Однако Евклид всегда оставался в четко очерченных пределах, когда плоскость - это плоскость, прямая - это прямая, а круг - это круг. К тому же в определении №15 присутствует косвенное определение окружности: падающие из одной точки на окружность прямые, равные между собой - это радиус окружности. Такое определение косвенно подтверждает, что Евклид мыслил окружность как линию, но не как некое множество точек. 17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон обводом (окружностью) круга, она и рассекает круг пополам. 18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью обвода (окружности). Центр же полукруга - то же самое, что и у круга. Далее следуют определения прямолинейных фигур, т.е. таких фигур, границы которых прямые линии. Суть этих определений хорошо понятна и сейчас без дополнительных пояснений, хотя и не все названия фигур совпадают с нынешними, например, определение трапеции Евклида не соответствует нынешнему, сейчас трапеция, это фигура, имеющая две параллельные стороны. 19. Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние - между тремя, четырехсторонние - между четырьмя, многосторонние же - те, которые содержатся между более чем четырьмя прямыми. 20. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний же - имеющая три разных стороны. 21. Кроме того из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же - имеющий тупой угол, а остроугольный - имеющий три острых угла. 22. Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник (прямоугольник) же - прямоугольная, но не равносторонняя, ромб - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) - имеющая противоположные стороны и углы равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырехугольники будем называть трапециями. Следующее определение, являющееся последним в книге I Евклида, нарушает выстроенный ранее логический ряд: 23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в неопределенность (см. примечание 2), ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются. Если продолжать логический ряд Евклида, то этому определению место за определением №10, так как параллельность - одна из возможных характеристик взаиморасположения прямых линий, подобная перпендикулярности, другими словами параллельность - еще один частный случай взаиморасположения прямых, очень важный для геометрии. Кроме того, только в этом определении встречается упоминание о неопределенности длины, противоречащее всем остальным определениям Евклида. На этом основании я допускаю, что определение №23 Евклиду не принадлежит, а является позднейшей вставкой. Но даже если допустить, что это определение принадлежит Евклиду, то все равно этим определением не допускается не то что пересечение параллельных прямых, но даже и касание. За этим следуют первые постулаты (в частности знаменитый 5 постулат) и аксиомы, рассматриваемые впрочем отдельно.

Основы геометрии. Начала Евклида.

Поиск по сайту