Вопрос 22
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
2z=x2/p+y2/q
Если p и q одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
если разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
Эллиптический параболойд
2z=x2/p+y2/q
Эллиптический параболойд если p=q
2z=x2/p+y2/q
Гиперболический параболойд
2z=x2/p-y2/q
Параболический цилиндр 2z=x2/p(или 2z=y2/q)
Вопрос23
Вещественное линейное пространство называется Эвклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y)), и это соответственно удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы x,y и z и число C:
1.(x,y)=(x, y)
2. (x+y, z)=(x, z)+(y, z)
3. (Cx, y)= C(x, y)
4. (x, x)>0, если x≠0
Простейшие следствия из вышеуказанных аксиом:
1. (x, Cy)=(Cy, x)=C(y, x) следовательно всегда (X, Cy)=C(x, y)
2. (x, y+z)=(x, y)+ (x, z)
3. (
)= 
(xi, y)
(
)= 
(x, yk)
4.(x, 0)=0
Пусть есть базис En e1, …, en
И вектор X= 
, выражается через векторы базиса X=x1*e1+…+xn*en
И есть новый базис e1/, …., en/,
Тогда: e1/ =S11e1+…+Sn1en
…………………………………
en/ =S1ne1+…..+Snnen
А вектор X в новом базисе X/= 
X/=x1/*e1/+…+xn/*en/
X=SX/, X/=S-1X, где S матрица перехода
S= 
, где каждый k-й столбец это координаты k-го базисного вектора
Неравенство Коши-Буняковского
Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство
(x, y)^2 ≤ (x, x)(y, y),
называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ, в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λх — у, λх — у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде
λ^2(x, x) - 2λ(x, y) + (y, y) ≤ 0
Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)
(x, y)^2 - (x, x)(y, y) ≤ 0.
Неравенство треугольника(следствие из неравенства Коши-Буняковского)
Для любых векторов 
и 
Доказательство
Извлекаем корень получаем
Вопрос24
Ортонормированные системы векторов
Определение. Ортогональная система векторов в называется ортонормированной, если длина любого вектора равна единице.
Если ортогональная система векторов 
не содержит нулевых векторов, то система векторов 
будет ортонормированной.
Во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Предложение. Ортонормированные системы векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть f1,….,fn ортонормированная система векторов. Рассмотрим равенство
a1f1+….+anf1=0. Из него вытекает, что ai=0 при произвольном i. В самом деле, умножим скалярно на fi, обе части равенства. Все слагаемые кроме i-того обратятся в 0, и мы получим ai(fi, fi)=ai=o. Таким образом, каждая равная нулю линейная комбинация векторов f1,….,fn необходимо тривиальная. Предложение доказано.