Выражение (5.5) показывает, что 
является функцией угла наклона площадки α. Рассмотрим задачу об отыскании площадок, в которых возникают экстремальные для точки нормальные напряжения. Для этого найдем производную от (5.5) и приравняем её нулю:
| (5.9) |
Сравнив выражение в квадратных скобках с формулой (5.7), можем равенство (5.9) переписать в эквивалентной форме:
| (5.10) |
Из (5.10) следует, что на площадках где действуют экстремальные нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями в точке.
Из выражения (5.9) получим тангенс двойного угла наклона нормалей главных площадок:
| (5.11) |
Выражение (5.11) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами 
и 
, по которым действуют главные напряжения σmax, σmin.
Для определения значений главных напряжений подставим в формулу (5.5) α=α0 (α0-определено из решения уравнения). После преобразований (см. стр. 348, 349 учебник «Сопротивление материалов» А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин.) получим:
| (5.12) |
В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному напряжению, а минус – минимальному. Очевидно, что
| (5.13) |
Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях σx,σy,τxy в данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.
Приведем формулу для тангенса одиночного угла наклона искомой главной площадки, на которой действует 
 .
| (5.14) |
В формуле (5.14) положительный угол отсчитывается от оси 
по ходу часовой стрелки.
Угол между осью и внешней нормалью к сечению, в котором действует 
определяется по формуле 
.
Простое универсальное правило для направления 
. Направление σmax всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки касательных напряжений τxy,и τyx (см. рис. 5.6)
| 
|
Рис. 5.6 Направление σmax
Экстремальные касательные напряжения
Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным на угол 450.
| (5.15) |
| 
|
Рис. 5.7 Площадки с экстремальными касательными напряжениями повернуты к главным на 450.
На площадках, где действуют τmax, нормальные напряжения определяются по формулам:
| (5.16) |
Главные деформации
В соответствии с формулами обобщенного закона Гука (см. (3.13)) деформации в направлении главных напряжений вычисляются по формулам:
| 
| (5.17) |
Чистый сдвиг.
Если по граням плоского элемента действуют только касательные напряжения интенсивностью 
, то такой вид деформации элемента называется чистым сдвигом (рис. 5.8)
| 
|
Рис.5.8 Чистый сдвиг
Таким образом, мы имеем частный случай плоского напряженного состояния: 
. По формулам (5.12) получаем главные напряжения:
 ,  .
| (5.18) |
По формулам (5.14) находим положение главных сечений:
 , 
| (5.19) |
По формулам (5.17) находим главные деформации:
 , 
| (5.20) |
Главные деформации равны по модулю, но противоположны по знаку, следовательно, относительное изменение объема (см. 3.14) пластины равно нулю
| (5.21) |
Таким образом, при чистом сдвиге изменения объема не происходит, а меняется только форма пластины. Квадратная пластина переходит в ромб (рис. 5.8).