Общие сведения
Устойчивость систем автоматического управления является одним из важнейших условий её работоспособности.
Под устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени, то есть следующее свойство собственного (свободного) движения системы:
Поскольку собственную составляющую процесса управления можно представить в виде:
где λi – корни характеристического уравнения замкнутой системы различные, то условие устойчивости заключается в отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Только в этом случае все слагаемые суммы с течением времени стремятся к нулю.
Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень (λi = 0) или хотя бы одна пара чисто мнимых корней (λi, i+1 = ± j ω), а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то будем говорить, что система находится на границе устойчивости. Для случая нулевого корня граница устойчивости называется апериодической, для случая чисто мнимого корня – колебательной.
В теории автоматического управления используются критерии устойчивости, позволяющие не вычисляя корни, судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения или по частотным характеристикам.
В первом случае критерии называются алгебраическими, во втором – частотными.
Критерий устойчивости по Гурвицу формулируется следующим образом.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны n главных определителей следующей матрицы коэффициентов характеристического уравнения системы:
В первую строку матрицы вписываются коэффициенты с нечётными индексами, во вторую – с чётными, концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. По диагонали располагаются коэффициенты, начиная с a 1, до a n. Указанные главные определители имеют вид:
Они называются определителями Гурвица. Последний определитель Гурвица, как видно из приведённой выше матрицы, равен:
Для систем первого и второго порядков критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов.
Для системы третьего порядка характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости по Гурвицу будет:
которое словесно формулируется так: “Произведение средних коэффициентов больше произведения крайних”.
Для системы четвёртого порядка:
условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех коэффициентов характеристического уравнения и выполнение неравенства:
Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова. Пусть характеристический многочлен линейной системы n–ого порядка имеет вид:
Подставим в него чисто мнимое значение λ = jω, получим:
Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D (j ω) при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол nπ/2, где n – порядок характеристического уравнения. Для устойчивых систем кривая Михайлова должна начинаться при ω = 0 на положительной вещественной полуоси, поскольку D (0) = a n > 0.
Критерий устойчивости можно сформулировать так: для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинаясь при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.
Структуреая схема
Устойчивое состояние
k1 = 9, k2 = 1.1, k3 = 1.1
Колебательное состояние
k1 = 0.5, k2 = 1.1, k3 = 1.1
На границе устойчивого состояния
k1 = 4.4, k2 = 1.1, k3 = 1.1