Лабораторная работа № 4
Тема: «ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ »
Выполнил:
студент гр. ПО(б)-41
Лыгин И. П.
Проверил:
Степанов В. Г.
г. Хабаровск
Цель работы: изучение частотного критерия устойчивости Найквиста.
Общие сведения
Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии
Передаточная функция разомкнутой цепи имеет вид:
Этот случай соответствует системам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию:
где D(p) – характеристический многочлен замкнутой системы, а L(p) – характеристический многочлен разомкнутой цепи этой системы. Степени полиномов D(p) и L(p) одинаковы и равны n.
Подставляя p = j ω:
Так как разомкнутая цепь устойчива, то по критерию Михайлова изменение аргумента L (j ω) при 0≤ω≤∞ равно nπ/2. Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо, чтобы изменение аргумента D (j ω) при 0≤ω≤∞ также было равно nπ/2. Отсюда следует, что изменение аргумента W 1(j ω) должно быть:
Годограф W 1(j ω) не должен охватывать начало координат:
Функция W (j ω) = W 1(j ω) – 1 представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи. Получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста: если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (–1, j 0)
График (a) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой цепи K (поскольку пропорционально величине K меняются все радиус-векторы точек характеристики), а график (б) – случаю, когда и при уменьшении K система может стать неустойчивой.
Под “охватом точки (–1, j 0)” понимается ее попадание внутрь контура, образованного годографом W (j ω), замкнутым прямой, соединяющей точки W (0) и W (j ∞).
Система, нейтральная в разомкнутом состоянии
Характеристический многочлен разомкнутой цепи L(p) имеет нулевые корни, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи W(p) имеет соответственно нулевые полюса:
Это соответствует астатическим системам, причем ν – порядок астатизма.
Формулировка критерия устойчивости остается той же: не должна охватываться точка (–1, j 0). При этом под охватом понимается попадание этой точки внутрь замкнутого контура, образованного годографом W (j ω), достроенным на вещественную положительную полуось четвертью окружности бесконечного радиуса.
Система с неустойчивой разомкнутой цепью
Пусть характеристический многочлен L(p) разомкнутой цепи имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда, результирующее изменение аргумента L (j ω):
Вспомогательная функция:
при замене p = j ω, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следующее изменение аргумента при 0≤ω≤∞:
Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (–1, j 0) против часовой стрелки на угол l π, где l – число полюсов с положительной вещественной частью передаточной функции разомкнутой цепи.