Направление выпуклости графика функции.




Опр.8.5.1. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной, проведённой на этом интервале.

Опр.8.5.2. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной, проведённой на этом интервале.

Теор.8.5.1. (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если функция имеет на интервале вторую производную, и () для , то её график имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во. Пусть, для определённости, на . Пусть с - произвольная точка , докажем, что график функции лежит выше касательной, проведённой к нему в точке . Уравнение касательной: ( - текущая точка касательной).

По формуле Тейлора . Вычитая из этого равенства предыдущее, получим на , т.е. точка графика функции действительно лежит выше точки графика касательной.

Аналогично рассматривается случай на .

8.5.2. Определение точки перегиба. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки .

Из этого определения следует, что в точке перегиба график пересекает касательную, так как по одну сторону от точки перегиба график лежит под касательной, по другую - над ней.

8.5.3. Необходимое условие точки перегиба. Пусть - точка перегиба графика функции , и пусть в точке существует непрерывная в этой точке вторая производная . Тогда .

Док-во от противного. Предположим, что , для определённости . Тогда, в силу непрерывности в точке , в некоторой окрестности точки ; следовательно, в любой точке этой окрестности график функции располагается выше касательной, что противоречит предположению о том, что - точка перегиба.

Таким образом, если - точка перегиба графика функции , и , то . Однако точкой перегиба может быть также точка , в которой не существует; пример - функция имеет перегиб в точке (0,0), в тоже время в точке 0 эта функция не имеет не только второй, но и первой производной. Поэтому введём термин, который выделяет такие точки х области определения функции , что точка может быть точкой перегиба графика этой функции:

Опр.8.5.3.1. Точка называется критической точкой второго рода, если 1. непрерывна в некоторой окрестности ; 2. существует (конечная или бесконечная) производная функции в точке ; 3. дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки ; 4. вторая производная этой функции в точке равна нулю или не существует.

8.5.4. Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Пусть - критическая точка второго рода функции и пусть функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если в пределах этой окрестности имеет разные знаки по разные стороны от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Док-во непосредственно следует из определения точки перегиба: так как вторая производная функции имеет разные знаки по разные стороны от точки , график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки , т.е. это точка перегиба.

Как пример полученных правил определения участков выпуклости и точек перегиба продолжим исследование первой из функций, рассмотренных в разделе 8.4: для функции мы получили . Находим вторую производную:

Решая уравнение , находим критические точки второго рода: , ; ; третья критическая точка - .

Как и при исследовании функции на монотонность и точки экстремума, составим таблицу

-   +   -   +
точка перегиба   точка перегиба   точка перегиба  

Результаты изображены на графике справа.

Может, однако, оказаться, что в точке равны нулю и первая, и вторая, и ещё ряд производных. Обобщим правило раздела 8.4.3. Третий достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по старшим производным): пусть функция имеет в точке все производные вплоть до n -го порядка, причём . Тогда, если n (порядок первой отличной от нуля производной) нечётно, то - точка перегиба графика функции ; если n чётно, то при - точка минимума, при - точка максимума.

Док-во этого правила дать самостоятельно, доработав доказательство раздела 8.4.3.

8.6. Асимптоты графика функции.

Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

Опр.8.6.1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен или .

Из этого определения следует, что прямая может быть вертикальной асимптотой графика функции только в случае, когда точка - точка разрыва второго рода этой функции.

Опр.8.6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию можно представить в виде , где при (или , или ).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, соответствующая случаю . Из определения наклонной асимптоты следует, что прямая будет горизонтальной асимптотой графика функции , если при (или , или ) функция .

График функции может приближаться к своей асимптоте, оставаясь

 
 

выше её ниже её колеблясь вокруг её

Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).

Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

.

Док-во. Необходимость. Пусть прямая - наклонная асимптота графика функции при , т.е., согласно определению, , где при . Тогда . Переходим к пределу при . , следовательно, . С другой стороны, в этом случае , и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и .

Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) ( - БМ при ), т.е. прямая - действительно наклонная асимптота графика функции при .

Примеры: найти асимптоты графиков функций

1. .

Так как , , прямая - вертикальная асимптота графика этой функции. Для определения наклонных асимптот ищем : . Таким образом, если наклонные асимптоты существуют, то . Находим : . Итак, прямая - двусторонняя наклонная асимптота . График функции и её асимптоты приведены на рисунке справа.

2. . Функция определена при , поэтому вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:

.

Из последнего выражения следует необходимость отдельного рассмотрения случаев и . При , поэтому ;

 

. При , . Итак, прямая - асимптота функции при ; прямая - асимптота функции при .

8.7. Схема исследования функций и построения графиков.

Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

I. Общий характер функции:

- область определения функции и, если это возможно, область её значений;

- наличие чётности, периодичности;

- нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

- область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

- пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

- наличие наклонных асимптот.

II. Исследование функции с помощью первой производной на экстремумы и участки монотонности. Граничными точками интервалов монотонности функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки первого рода.

III. Исследование функции с помощью второй производной на выпуклость и точки перегиба. Граничными точками интервалов выпуклости графика функции могут быть только концы интервалов области её определения, точки разрыва, критические точки второго рода.

После первого этапа исследования полезно построить примерный график, который уточняется в результате второго и третьего этапов.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: