Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично (4.1):
Переходя к новым переменным 
получаем линейную регрессионную модель:
Экспоненциальнаяоднофакторная регрессия имеет вид
ŷ = еaх + b (или ŷ = baх); (4.8)
степенная однофакторная регрессия имеет вид
ŷ = bха; (4.9)
Для нахождения коэффициентов а и b предварительно проводят процедуру линеаризации выражений (4.8) и (4.9):
ln ŷ = ln b+x ln а, (4.10)
ln ŷ = ln b+а l nx, (4.11)
а затем уже строят линейную регрессию между ln ŷ и х для экспоненциальной регрессии, и между ln ŷ и ln х для степенной регрессии.
Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметр а имеет четкое экономическое истолкование, – он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициент b показывает, на сколько % в среднем изменится результат, если фактор изменится на 1%.
Формирование нелинейных однофакторных регрессионных моделей на компьютере с помощью ППП Excel
Для вычисления параметров экспоненциальной регрессии (4.8) на компьютере (в Excel) используется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.
Для вычисления параметров степенной регрессии после преобразования исходных данных в соответствие с (4.11), можно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН.
Для получения графиков однофакторных регрессий можно применить Мастер диаграмм, строя предварительно точечный график исходных данных (диаграмму рассеяния), а затем использовать режим Добавить линию тренда (дляэтого установите курсор на любую точку точечной диаграммы и щелкните правой кнопкой мышки), причем в этом режиме Excel предоставляет возможность выбора шести функций – линейной, логарифмической, полиномиальной, степенной, экспоненциальной и скользящей средней. После выбора функции в режиме Параметры задайте флажок Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации(R^2).
4.6. Практический блок
Пример
Задача 1. По некоторым территориям районов края известны значения среднего суточного душевого дохода в у.е. (фактор X) и процент от общего дохода, расходуемого на покупку продовольственных товаров (фактор Y) (табл. 4.1).
Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной, степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F-критерий Фишера.
Таблица 4.1
| Район | у | х | 
| 
| 
| 
|
| Пожарский (1) | 68,8 | 45,1 | 61,277 | 7,5231 | 11,4989 | 56,5970 |
| Кавалеровский (2) | 61,2 | 59,0 | 56,4689 | 4,7311 | 2,00817 | 22,3833 |
| Дальнегорский (3) | 59,9 | 57,2 | 57,0915 | 2,8085 | 0,63123 | 7,88767 |
| Хасанский (4) | 56,7 | 61,8 | 55,5004 | 1,1996 | 5,69109 | 1,43904 |
| Лесозаводский (5) | 55,0 | 58,8 | 56,5381 | 1,5381 | 1,81683 | 2,36575 |
| Хорольский (6) | 54,3 | 47,2 | 60,5505 | 6,2505 | 7,09956 | 39,0687 |
| Анучинский (7) | 49,3 | 55,2 | 57,7833 | 8,4833 | 0,01055 | 71,9664 |
| итого | 405,2 | 32,534 | 28,7563 | 201,708 | ||
| среднее | 57,886 | 4,6477 |
РЕШЕНИЕ.
1а. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = аx + b решаем систему нормальных уравнений относительно а и b (или используем EXCEL).
Получаем уравнение регрессии: у = 76,88 – 0,35 x.
С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: r = -0,35326.
Связь умеренная, обратная.
Определим коэффициент детерминации:
R2 = 0,1248.
Вариация результата на 12,5% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения 
(см.табл. 4.1).
Найдем величину средней ошибки аппроксимации А:
(4,647744/57,88571)´100%=0,080292.
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,03%.
Рассчитаем F-критерий:
Fтабл = 6,6 >Fфакт, при γ = 0,05.
Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.
1б. Построению степенной модели у = bxа предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lg y = lg b + a lg х, или Y = С + а Х,
гдеY = lg(y), X = lg(x), C = lg(b).
Для расчетов используем формулы для линейной регрессии(или используем EXCEL).
Получим уравнение: у = 190,03х-0,2984. R2 =0,1157.
Характеристики степенной модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает взаимосвязь.
1в. Построению уравнения показательной кривой у = bах предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
lg y = lg b + х lg а, или Y = С + х lg а, и опять же можно использовать формулы для линейной регрессии(или EXCEL).
Получим уравнение: у = 77,24е-0,0053 х . R2 =0,1026.
Показательная функция еще хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.
1г. Уравнение равносторонней гиперболы у = а/x + b линеаризуется при замене: x = 1/ z.
Тогда у = аz + b. Для расчетов используем формулы для линейной регрессии(или используем EXCEL).
Получено уравнение: у = 38,435 + 1054.7/ x. R2 =0.1539.
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). A остается на допустимом уровне: 8,1%.
Следовательно, принимается гипотеза Н0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Контрольные вопросы
1. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?
2. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии?
3. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии?
4. В каких случаях осуществляется построение нелинейных спецификаций уравнения регрессии с последующей их линеаризацией?
5. Приведите примеры нелинейных моделей регрессии и их линеаризацию.
6. Какие проблемы спецификации ошибок возникают при линеаризации уравнения регрессии?
Задания и задачи
1. Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде: 
– реальный обменный курс, х – время.
| год | y | х |
| 2,5 | ||
| 2,3 | ||
| 1,7 | ||
| 3,5 | ||
| 3,3 | ||
| 2,8 | ||
| 2,4 | ||
| 2,2 | ||
| 2,1 | ||
2. Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде выплавки стали.
Год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Выплавка 65,3 70,8 76,3 80,2 85,0 91,0 96,9 102,2 106,5 110,3 115,9
стали, млн.т.
3. Известен объем предложения акций на фондовом рынке в зависимости от цены. Определить лучшую регрессионную модель.
| x, цена, $ | ||||||||||
| y, объем, тыс.шт. |
Тесты
1. Как интерпретируется в линейной модели коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
2. Как в показательной модели интерпретируется коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
3. Как в степенной модели интерпретируется коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
4. Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров нелинейных моделей?
a) нет,
б) да,
в) применим после её специального приведения к линейному виду.
5.Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров показательной зависимости?
a) нет,
б) да,
в) применим после её приведения к линейному виду путём логарифмирования.
6.Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров степенной зависимости?
a) нет,
б) да,
в) применим после её приведения к линейному виду путём логарифмирования.
7.Что показывает коэффициент абсолютного роста?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
8. Что показывает коэффициент регрессии показательной модели?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
9. Что показывает коэффициент регрессии степенной модели?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
10. Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент абсолютного роста не изменяется?
a) линейную,
б) показательную,
в) степенную.
11. Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент относительного роста не изменяется?
a) линейную,
б) показательную,
в) степенную.
12.Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент эластичности не изменяется?
a) линейную,
б) показательную,
в) степенную.
13. При анализе издержек Y от объемов выпуска X целесообразно использовать следующую модель:
а) линейную;
б) полиномиальную;
в) логарифмическую;
г) степенную;
д) экспоненциальную.
14. Параметры α и β в производственной функции Кобба – Дугласа называют:
а) коэффициентами эластичности;
б) коэффициентами корреляции;
в) коэффициентами автокорреляции.
15. В модели lnY = β0 + βX+ ε коэффициент β имеет смысл:
а) абсолютного прироста;
б) темпа роста;
в) темпа прироста.
4.7. Самостоятельная работа студентов
Литература для самостоятельной работы
1. Гладилин, А. В. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов / А. В. Гладилин, А. Н. Герасимов, Е. И. Громов. -М.: КноРус, 2006. -226с.
2. Салманов, О. Н. Эконометрика: учеб. пособие для вузов / О. Н. Салманов -М.: Экономистъ, 2006. -317с.
3. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2008. -304 с.
INTERNET-ресурсы
1. https://crow.academy.ru/econometrics/seminars_/sem_08_/sem_08.htm
2. https://crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_03_/index.htm
3. https://u-pereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/
4. https://crow.academy.ru/econometrics
5. https://www.econ.msu.ru/kaf/DEI/books/prognoz.html
6. https://socgw.univ.kiev.ua/EDUCAT/BASIC/MMPS/LABS/LOGREG.HTM
5. Оценка качества эконометрических регрессионных моделей и прогнозирование на их основе.
5.1. Доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные 62
5.2. Проверка статистических гипотез о значениях коэффициентов 68
5.3. Проверка значимости параметров линейной регрессии и подбор
модели с использованием f -критериев 74
5.4. Проверка значимости и подбор модели с использованием коэффициентов детерминации. Информационные критерии 81
5.5. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и
автокоррелированными остатками 88
5.6. Обобщенный метод наименьших квадратов. Метод Главных
Компонент 94
5.7. Прогнозирование. Доверительный интервал прогноза 96
5.8. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 97
5.9. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 111