Общий вид модели (аддитивной) следующий:
Y= T + S + E,
где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.
S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.
Пример 6.2. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.6.3).
Таблица 6.3
| № квартала | Потребление электроэнергии | Итого за 4 квартала | Скользящая средняя за 4 квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 6,0 | - | - | - | - | |
| 4,4 | 24,4 | 6,1 | - | - | |
| 5,0 | 25,6 | 6,4 | 6,25 | –1,25 | |
| 9,0 | 26,0 | 6,5 | 6,45 | 2,55 | |
| 7,2 | 27,0 | 6,75 | 6,625 | 0,575 | |
| 4,8 | 28,0 | 7,0 | 6,875 | –2,075 | |
| 6,0 | 28,8 | 7,2 | 7,1 | –1,1 | |
| 10,0 | 29,6 | 7,4 | 7,3 | 2,7 | |
| 8,0 | 30,0 | 7,5 | 7,45 | 0,55 | |
| 5,6 | 31,0 | 7,75 | 7,625 | –2,025 | |
| 6,4 | 32,0 | 8,0 | 7,875 | –1,475 | |
| 11,0 | 33,0 | 8,25 | 8,125 | 2,875 | |
| 9,0 | 33,6 | 8,4 | 8,325 | 0,675 | |
| 6,6 | 33,4 | 8,35 | 8,375 | –1,775 | |
| 7,0 | - | - | - | - | |
| 10,8 | - | - | - | - |
Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:
а) просуммируем у t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 6.3);
б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 6.3);
в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.6.3).
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 6.3). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты
Š1=(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;
Š2=(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;
Š3=(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;
Š4=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.
Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту Si = Ši– k.
Таким образом, получаем
S1 =0,581; S2 = –1,979; S3 = –1,294; S4 =2,69.
Занесем полученные значения в табл.6.4 для соответствующих кварталов (гр.3).
Таблица 6.4
| t | y t | St | T+E= y t –St | T | T+S | E=yt –(T+S) | E2 |
| 6,0 | 0.581 | 5.419 | 5.902 | 6.483 | –0.483 | 0.2333 | |
| 4,4 | –1.977 | 6.337 | 6.088 | 4.111 | 0.289 | 0.0835 | |
| 5,0 | –1.294 | 6.294 | 6.275 | 4.981 | 0.019 | 0.0004 | |
| 9,0 | 2.69 | 6.31 | 6.461 | 9.151 | –0.151 | 0.0228 | |
| 7,2 | 0.581 | 6.619 | 6.648 | 7.229 | –0.029 | 0.0008 | |
| 4,8 | –1.977 | 6.777 | 6.834 | 4.857 | –0.057 | 0.0032 | |
| 6,0 | –1.294 | 7.294 | 7.02 | 5.727 | 0.273 | 0.0745 | |
| 10,0 | 2.69 | 7.31 | 7.207 | 9.896 | 0.104 | 0.0108 | |
| 8,0 | 0.581 | 7.419 | 7.393 | 7.974 | 0.026 | 0.0007 | |
| 5,6 | –1.977 | 7.577 | 7.58 | 5.603 | –0.03 | 0.0009 | |
| 6,4 | –1.294 | 7.694 | 7.766 | 6.472 | –0.072 | 0.0052 | |
| 11,0 | 2.69 | 8.31 | 7.952 | 10.642 | 0.358 | 0.1282 | |
| 9,0 | 0.581 | 8.419 | 8.139 | 8.72 | 0.28 | 0.0784 | |
| 6,6 | –1.977 | 8.577 | 8.325 | 6.348 | 0.252 | 0.0635 | |
| 7,0 | –1.294 | 8.294 | 8.519 | 7.218 | –0.218 | 0.0475 | |
| 10,8 | 2.69 | 8.11 | 8.698 | 11.388 | –0.588 | 0.3457 |
Шаг 3. Вычисляем T+E= y t – St (гр.4 табл.6.4).
Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный трендТ=5,715 + 0,186 t. Подставляя в это уравнение t =1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.6.4).
Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 6.4).
Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.6.4).
Статистика Дарбина-Уотсона.
При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки et содержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 2.6.). Существует два наиболее распространенных способа определения автокорреляции остатков. Первый метод – построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины
(6.3)
Между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков действует соотношение
d »2(1 – re).
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция (re=1), то d =0. Если в остатках полная отрицательная корреляция (re= –1), то d =4. Если автокорреляция остатков отсутствует (re=0), то d =2.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Задается уровень значимости a. По таблицам значений критерия Дарбина – Уотсона (приложение 3) определяются для числа наблюдений n и числа независимых переменных (факторов) k критические значения dl и du. Получаем пять интервалов для значения d.
- если 0 £ d £dl, то имеется положительная автокорреляция остатков;
- если dl£ d £du, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);
- если du£ d £ 4 – du, то автокорреляция остатков отсутствует;
- если 4 – du£ d £ 4 – dl, то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);
- если 4 – dl£ d £4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.
Пример 6.3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.6.5.
Таблица 6.5
| Год | ||||||||
| Расходы, у | ||||||||
| доход, х |
у = –2.05+0,92 х +et.
| Год | ||||||||
| ŷ | 7,15 | 8,99 | 8,07 | 8,99 | 10,83 | 11,75 | 13,59 | 16,35 |
| et | –0,15 | –0,99 | –0,07 | 1,01 | 0,17 | 0,25 | 0,41 | –0,35 |
| et – et-1 | - | –0,84 | 0,92 | 1,08 | –0,84 | 0,08 | 0,16 | –0,76 |
| ∑(et)2=2,4095 | ,0225 | ,9801 | ,0049 | 1,020 | ,0289 | ,0625 | ,1681 | ,1225 |
| ∑(et – et-1)2=4,0336 | - | ,7056 | 0,846 | 1,166 | ,7056 | ,0064 | ,0256 | ,5776 |
Имеем d =4,0336/2,4095=1,674.
Пусть a=0,05, по таблицам (приложение 3) для n =8 и k=1 (однофакторная модель) находим критические значения dl =0,76, du =1,33. Так как в нашем случае 1,33 £ 1,674 £ 4 – 1,39=2,61, то автокорреляция остатков отсутствует.