у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.
| Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. | |
| Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды. | |
| Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1) | |
| Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P). | |
| Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …, PAn) | |
| Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. | |
| Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН). | |
| Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. | |
| Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу. | |
| Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники). | |
| Некоторые свойства правильной пирамиды: · Все боковые рёбра равны между собой · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники · Все двугранные углы при основании равны · Все плоские углы при вершине равны · Все плоские при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу | |
| Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. | Sполн=Sбок+Sосн |
| Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней. | |
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m* / g /, где m – апофема, / g / - основание грани |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. | Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания. |
| Объём пирамиды. | V=(1/3)*Sосн*h |
Усечённая пирамида.
| Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn. Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. | |
| Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
| Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. | |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН). | |
| Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. | |
| Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. | |
| Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. | |
| Высоты этих трапеций называются апофемами (КК1) | |
| Свойства усечённой пирамиды: | 1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки 2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, XXXежащеему в основании 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды |
| Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. | |
| Площадь поверхности усечённой пирамиды | S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. | Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований |
| Объём усечённой пирамиды: | V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. |
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m – апофема, g, g1 – основания боковой грани |
Тетраэдр.
| Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды. Тетраэдр является частным случаем пирамиды. | |
| Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: DABC | |
| Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями. | |
| Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами. | |
| Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра. | |
| Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. | |
| Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями. | |
| Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. | |
| Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным. | |
| Свойства равногранного тетраэдра: | 1. описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный 2. развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник 3. у него имеются три оси симметрии 4. все трёхгранные углы равны 5. все медианы (тетраэдра) равны 6. все высоты (тетраэдра) равны 7. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают 8. радиусы описанных окружностей граней равны 9. периметры граней равны 10. площади граней равны |
| Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным | Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: S2=S21+S22+S23 |
| Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным. | |
| Объём правильного тетраэдра. | V=(a3*√2)/12 |
| Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре | R=(a*√6)/4 |
| Высота правильного тетраэдра | H=(a*√6)/3 |
| Площадь поверхности правильного тетраэдра | S=a2*√3 |
| Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра | r = (a*√6)/12 |
Список используемой литературы
1. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
2. Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
3. Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995
4. Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996
[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.