ИНВЕСТИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ
Найти оптимальное распределение суммы средств S между несколькими предприятиями для своего варианта (табл. 5). S – распределяемая сумма инвестиций; П/п – номера предприятий. В таблице 6 представлена эффективность инвестиций для десяти предприятий.
| Эффективность инвестиций по предприятиям | ||||||||||
Таблица 5
| № | S | П/п | № | S | П/п | № | S | П/п |
| 1,3,7,9 | 2,3,5 | 1,3,7,8 | ||||||
| 1,4,5 | 2,4,7 | 1,2,3 | ||||||
| 2,6,7 | 2,4.10 | 1,4.8 | ||||||
| 2,7,10 | 3,5,9 | 3,4,8 | ||||||
| 1,5,8 | 4,5,6 | 7,8,10 | ||||||
| 2,3,8 | 5,7,9 | 1,2,10 | ||||||
| 3,4,10 | 6,8,10 | 4,6,7 | ||||||
| 4,5,10 | 2,6,9 | 7,8,9,10 | ||||||
| 2,5,6,8 | 3,8,9 | 5,8,10 | ||||||
| 2,7,8,10 | 4,5,8 | 1,8,10 |
ЗАДАЧА ИНВЕСТИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ
Инвестицией называют любое вложение средств, обеспечивающее прирост выпускаемой продукции. Иначе говоря, инвестиция есть управляющее воздействие на величину выпускаемой продукции. Пусть имеется группа различных по уровню организации производства однотипных предприятий. Очевидно, что в этом случае одна и та же величина инвестиций различным предприятиям обеспечит различный прирост продукции на них. Если распределять некоторую сумму средств между всеми предприятиями, то от того, на сколько удачным окажется это распределение будет большая или меньшая суммарная эффективность распределенной суммы средств. Значит, можно вести речь о нахождении оптимального распределения средств для обеспечения самого большого суммарного прироста выпускаемой продукции по всем инвестируемым предприятиям.
Подобные задачи достаточно легко интерпретируются как задачи динамического программирования, в которых в качестве этапов решения можно рассматривать следующие:
- 1-ый этап – вложение средств во все предприятия сразу, т.е. распределение суммы инвестиций между всеми предприятиями;
- 2-ой этап – вложение средств во все предприятия кроме последнего;
- 3-ий этап – вложение средств во все предприятия кроме двух последних;
- ……………………………………………………………………………….
- N-ый этап – вложение средств только в первое предприятие.
Исходя из такой разбивки задачи на этапы, решение задачи инвестирования осуществляется дважды. Сначала рассматриваются этапы от последнего к первому и на каждом из них определяются все возможные варианты распределения средств. После чего просматриваются этапы от первого к последнему, но уже с выбором наиболее выигрышных вариантов на основании принципа Р.Беллмана.
Принцип Р.Беллмана является основополагающим в теории динамического программирования. Сущность этого принципа состоит в том, что каково бы ни было состояние оптимизируемого процесса в результате какого-то числа шагов, управление на ближайшем шаге должно быть выбрано так, чтобы оно обеспечивало максимальный выигрыш на всех оставшихся шагах (этапах), включая и данный.
Для задачи инвестирования принцип Р.Беллмана достаточно просто может быть выражен строгим математическим описанием.
Пусть S – общая сумма всех инвестиций, а xi – инвестиции в i-ое предприятие. Тогда 
, где n – количество инвестируемых предприятий.
fi(xj-1) –объем прироста продукции i-го предприятия на предыдущем этапе. Fn-k(xk) –суммарный максимальный прирост продукции на всех этапах от k-го до последнего, где xk – объем инвестиций на k-ом шаге.
Используя принятые обозначения, принцип Р.Беллмана можно выразить следующим рекуррентным соотношением.
При k=n-1 Fn-k=F1, что есть размер прироста на последнем шаге и F1 вычисляется через F0, т.е. через оптимальный прирост на n+1-ом шаге. Но шаг n+1 означает, что средства не вкладываются ни в одно предприятие, отсюда понятно, что ни какого прироста на таком шаге не будет, т.е. F0(xk)=0.
В качестве конкретного примера рассмотрим задачу инвестирования трех предприятий. Общая сумма инвестиций равна 500тыс.руб. Ниже приведена таблица прироста продукции по каждому предприятию в зависимости от различной суммы инвестиций.
Таблица 11
| инвестиции | Прирост продукции по предприятиям в тыс.руб. | ||
| 1-ое предприятие | 2-ое предприятие | 3--е предприятие | |
Для этой задачи возможно рассмотрение следующих этапов:
I-ый – распределение инвестиций по всем трем предприятиям;
II-ой – распределение инвестиций между первым и вторым предприятиями;
III-ий – инвестирование только одного первого предприятия.
При рассмотрении количества вариантов инвестиций следует сделать такое, например, замечание: Любые два вложения, различающиеся хотя бы на копейку, с точки зрения математики следует считать различными, но с практической точки зрения они, очевидно, равны. Мало того, даже различие в 10, 100, 1000 и даже 10000 рублей также можно считать равными вариантами, так как и вложения и прирост в нашей задаче исчисляются сотнями тысяч рублей. Отсюда, для суммы в 500тыс. руб. достаточно рассмотрение следующих вариантов вложений: 0, 100, 200, 300, 400 и 500 тыс.руб.
Решение задачи.
III-ий этап. В этом случае нет предприятий, инвестировавшихся перед первым предприятием и поэтому оптимальный прирост F0(xj)=0 для любой суммы инвестиций, т.е. для любого варианта. Отсюда, согласно с принципом оптимальности можно записать:
F1(x)= max {f1(xj)+0}
0<xj<x
В качестве x будем рассматривать следующие варианты: 0, 100,200, 300. 400 и 500тыс.руб. В свою очередь любой вариант также можно разбить на такие же варианты xj, но уже для данного предприятия.
Этап II.
F2(x)=max {f2(xj)+F1(x-xj)}
0<xj<x
этап I (к уже рассмотренным предприятиям присоединяем третье). На этом этапе все средства без всяких вариантов распределяются между всеми предприятиями. Надо только всю сумму инвестиций различным способом разбить на две части: вложения в третье предприятие и вложения в два предыдущих. Отсюда, F3(500)=max{f3(xj)+F2(500-xj)}, при 500<xj<0
Теперь следует рассмотреть все этапы от первого к последнему и на каждом выбрать наилучшее решение.
На первом этапе F3(500) имеем три варианта оптимального инвестирования:
1) 0 тыс.руб. третьему предприятию и 500 тыс руб. 2-ому и 1-ому предприятиям вместе;
2) 100 тыс.руб. третьему предприятию и 400 тыс.руб. 2-ому и 1-ому предприятиям вместе;
3) 300 тыс.руб. третьему предприятию и 200 тыс.руб 2-ому и 1-ому предприятиям вместе;
В любом из этих вариантов максимальный суммарный прирост выпуска продукции на всех трех предприятиях составляет 190 тыс.руб.
На втором этапе F2(x) следует рассмотреть все уже обнаруженные оптимальные варианты распределения средств 2-ому и 1-ому предприятиям вместе.
1) 500 тыс.руб. обоим предприятиям F2(500)=190, причем, согласно результатам второго этапа, все 500 тыс.руб. вкладываются во второе предприятие.
2) 400 тыс.руб. в оба предприятия F2(400)=150, причем все 400 тыс.руб. направляются только во второе предприятие.
3) 200 тыс.руб. в оба предприятия F2(200)=80, но здесь возможны еще два варианта:
а) по 100 тыс.руб. каждому из них;
б) все 200 тыс.руб. только2-ому предприятию
Итак, возможны следующие случаи оптимального распределения средств между предприятиями:
| 1-ое | 2-ое | 3-е |
И любой из этих вариантов обеспечивает прирост выпуска продукции в 190 тыс.руб. всеми тремя предприятиями вместе. Это и есть оптимальное решение поставленной задачи.