Домашнее задание №3. Тема: «Комбинаторика»

Задание. Решить комбинаторные задачи. Дать пояснения к решению. Без пояснения задача считается нерешенной.

1 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В научном отделе работает 50 человек. Из них 27 человек знают английский язык, 15 − немецкий язык, 20 − итальянский язык, 6 – английский и немецкий, 8 – английский и итальянский, 3 – немецкий и итальянский; все три языка знают 2 человека. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков; б) сколько человек знают точно 2 языка; в) сколько человек знают только английский язык.

3. В коллективе 9 парней и 5 девушек. Сколько существует вариантов выбора делегации из 8 человек на собрание, если известно, что не менее половины делегации − парни.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 4 девятки и хоть одна пятерка.

5. Сколькими способами можно купить 6 фруктов, если киви продают по 0,1,3 шт., манго – 0,1,2 шт., авокадо – 0,2,4 шт., грейпфрут – 0,1,2 шт.

6. В автомашине семь мест. Сколькими способами семь человек могут расположиться в машине, если место водителя могут занять только трое из них?

2 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В научном отделе работает 50 человек. Из них 25 человек знают английский язык, 13 – немецкий язык, 21 – итальянский язык, 5 – английский и немецкий, 9 – английский и итальянский, 3 – немецкий и итальянский; все три языка знают 3 человека. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков; б) сколько человек знают точно 2 языка; в) сколько человек знают только немецкий язык.

3. В магазине имеются в наличии 9 различных книг Роберта Шекли и 11 различных книг Стивена Кинга. Сколько существует вариантов выбора покупки из 10 книг, если известно, что не менее половины книг Стивена Кинга, имеющиеся в наличии в магазине, вошли в покупку.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть хоть одна девятка и хоть одна пятерка.

5. Сколькими способами можно переставить цифры числа 1 234 114 546 так, чтобы никакие три одинаковые цифры не шли друг за другом?

6. Сколько различных аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если любое сочетание может состоять из 2, 3, … 7 звуков.

3 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В научном отделе работает 50 человек. Из них 13 человек знают английский язык, 19 – немецкий язык, 17 – итальянский язык, 3 – английский и немецкий, 2 – английский и итальянский, 8 – немецкий и итальянский; все три языка знает 1 человек. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков?; б) сколько человек знают точно 2 языка?; в) сколько человек знают только итальянский язык?

3. В отделе 9 мужчин и 10 женщин. Сколько существует вариантов выбора делегации из 8 человек на собрание, если известно, что не менее половины мужчин отдела были на собрании.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть ровно две пятерки и хоть одна единица.

5. В ряд расположены п предметов. Сколькими способами можно выбрать из них три предмета так, чтобы не брать двух рядом стоящих предметов?

6. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

4 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В группе из 100 студентов 35 изучают французский язык, 42 — испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 — испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не изучают ни один из трех языков. Определить: а) сколько студентов изучают французский или немецкий язык, но не изучают испанский; б) сколько студентов изучают только один из трех языков; в)сколько человек не изучают ни одного языка.

3. В магазине имеются в наличии 8 различных книг Агаты Кристи и 10 различных книг Артура Конан Дойла. Сколько существует вариантов выбора покупки из 9 книг, если известно, что не менее половины покупки составляют книги Артура Конан Дойла.

4. Найти количество n-значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 девятки и точно один ноль.

5. Сколькими способами можно посадить рядом 3 англичан, 3 французов и 3 турок так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?

6. Сколькими способами можно выбрать из натурального ряда чисел (от 1 до 30) 3 числа так, чтобы их сумма была четной?

5 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В группе из 100 студентов 35 изучают французский язык, 42 — испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 — испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не изучают ни один из трех языков. Определить:а) сколько человек изучают все три языка?; б) сколько студентов изучают только один из трех языков? в) сколько студентов изучают два из трех языков?

3. В магазине имеются в наличии 9 различных видов шариковых ручек и 8 различных видов гелиевых ручек. Сколькими способами можно купить 12 различных ручек, если известно, что не менее половины купленных ручек шариковые.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 девятки и хоть один ноль.

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород» так, чтобы две буквы «о» не стояли рядом?

6. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных?

6 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В группе из 100 студентов 35 изучают французский язык, 42 — испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 — испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не изучают ни один из трех языков. Определить: а) сколько человек не изучают ни одного языка; б) сколько студентов не изучают ни испанский язык, ни французский в) сколько студентов изучают только испанский.

3. В хоре 12 мужчин и 14 женщин. Сколько существует вариантов выбора 9 человек для выступления, если известно, что в нем участвовало не менее половины мужчин хора.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 4 девятки и точно одна пятерка.

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом?

6. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё? То же самое при условии, что подъем и спуск происходят по разным путям.

7 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. На курсе из 200 студентов 75 изучают математику, 70 — историю, 75 — социологию, 35 изучают математику и социологию, 20 — историю и социологию, 25 изучают математику и историю, 15 студентов — все три предмета. Определить:

а) сколько студентов изучают хотя бы один из трех предметов?

б) сколько студентов изучают только один из трех предметов?

в) сколько студентов изучают историю или математику, но не изучают социологию?

3. Сколько имеется шестизначных чисел, если первая цифра разряд может быть нулем, цифры не должны повторяться и последние две цифры должны быть 7 или 8?.

4. Найти количество n-значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 2 девятки и хоть одна тройка.

5. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «логарифм» так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?

8 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

а) сколько студентов изучают хотя бы один из трех предметов?

б) сколько студентов не изучают ровно два из трех предметов?

в) сколько студентов не выбрали историю или математику?

3. Сколько существует способов выбрать комитет из 5 человек в клубе, насчитывающем 25 членов?

4. Сколько существует способов вытащить из стандартной колоды, содержащей 52 карты, 13 карт, содержащих 6 карт одной масти?

5. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

6. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?

9 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. Согласно опросу 250 телезрителей, 95 из них нравится смотреть новости, 125 предпочитают смотреть спорт, 125 — комедии, 25 — новости и комедии, 45 — спорт и комедии, 35 — новости и спорт, 5 любят все три вида программ. Определить:

а) сколько телезрителей смотрят новости, но не смотрят спорт;

б) сколько телезрителей смотрят новости или спорт, но не любят комедии;

в) сколько телезрителей не смотрят ни одну программу.

3. Сколько существует битовых строк длины 7-элементных строк битов, содержащих две или более единиц?

4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 5 или на 7.

5. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

6. Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по 5 различным пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?

10 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. Шесть мальчиков и шесть девочек идут на концерт вместе. Сколькими способами они могут занять места, если а) мальчики не будут сидеть рядом? б) ни мальчики, ни девочки не будут сидеть все вместе? в) все мальчики сядут вместе?

3. В команде из 20 человек каждый игрок одинаково хорошо играет на всех позициях. Сколько существует способов выбрать для начала игры команду из 9 человек?

4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 7 или на 11?

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

6. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами это можно сделать?

11 вариант

1. В разложении (2х + 3у)¹⁰ найти коэффициент при х⁶у⁴.

2. Шесть мальчиков и шесть девочек идут на концерт вместе. Сколькими способами они могут занять места, если:

а) два мальчика сядут по краям?

б) один мальчик и одна девочка откажутся сесть вместе?

в) девочки не будут сидеть рядом?

3. В команде из 20 человек каждый игрок одинаково хорошо играет на всех позициях. Сколькими способами можно расставить игроков?

4. Сколько существует положительных целых чисел, содержащих не более пяти цифр, в которых первой цифрой является 3?

5. Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв а, b, с, если известно, что буква а встречается в слове не более двух раз, буква b − не более одного раза, буква с − не более трех раз?

6. На книжной полке 30 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы первый и второй не шли рядом?

12 вариант

1. В разложении (3х + 2у)¹² найдите коэффициент при х⁸у⁴.

2. Согласно опросу 250 телезрителей, 95 из них нравится смотреть новости, 125 предпочитают смотреть спорт, 125 − комедии, 25 − новости и комедии, 45 − спорт и комедии, 35 − новости и спорт, 5 любят все три вида программ. Определить:

а) сколько телезрителей не любят смотреть ни новости, ни спорт;

б) сколько телезрителей смотрят не только спорт;

в) сколько телезрителей смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости.

3. Сколько существует способов составить комитет из 6 мужчин и 7 женщин, если организация состоит из 15 мужчин и 20 женщин?

4. Сколько пятизначных целых чисел начинаются с 3 и заканчиваются на 5 или содержат цифру 7?

5. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

6. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами он может это сделать?

13 вариант

1. В разложении (3х + 2у)¹² найти коэффициент при х⁸у⁴.

2. Пусть А = {а, 6, с, d, е, f, g, h}. Определить, сколько существует:

а) пятиэлементных подмножеств множества А, содержащих с, но не содержащих d и е;

б) подмножеств множества А, содержащих хотя бы три элемента;

в) подмножеств множества А, содержащих не более шести элементов.

3. Если телефонный номер не может начинаться с 0, 1 или 8, то сколько существует различных 7-значных телефонных номеров?

4. Сколько пятизначных целых чисел начинаются с 3 и заканчиваются на 5 или содержат цифру 7?

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?.

6. В купе ж/д вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к паровозу, остальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

14 вариант

1. В разложении (х + 2y²)¹³ найти коэффициент при х⁵у¹⁶.

2. Пусть А = {а, 6, с, d, е, f, g, h}. Определить, сколько существует:

а) трехэлементных подмножеств множества А;

б) пятиэлементных подмножеств множества А, содержащих b;

в) пятиэлементных подмножеств множества А, не содержащих b.

3. Если компьютерный пароль содержит семь символов, которые могут быть цифрой или буквой, то сколько существует паролей, начинающихся с буквы?

4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 6 или на 10?

5. Найти n, если известно, что в разложении (1 + x)n коэффициенты при x5 и x12 равны.

6. Сколькими способами можно вписать в один ряд 9 троек и 6 пятерок, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом?

15 вариант

1. В разложении (х³ − 3y²)¹⁰ найти коэффициент при х⁹у¹⁴.

2. Сколько имеется шестизначных чисел, если первая цифра разряд может быть нулем, цифры не должны повторяться и

а) первая цифра должна быть 1, а последние цифры не могут быть 7 или 8?

б) цифры 7 и 8 должны стоять рядом?

3. В зоомагазине продаются 5 черепах, 7 ящериц и 12 мышей. Сколько существует способов выбрать себе 2 черепахи, 3 ящерицы и 5 мышей?

4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 10 или на 15?

5. Сколькими способами два человека могут разделить 2n предметов одного вида, 2n предметов второго вида и 2n предметов третьего вида так, чтобы каждый получил по 3n предметов?

6. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10 человек к каждой бригаде? На 10 групп по три человека в каждой бригаде?

16 вариант

1. В разложении (х² + 3y)¹⁰ найти коэффициент при х¹⁰у⁵.

2. Из 50 опрошенных студентов 25 изучают химию, 26 − математику, 21 − физику, 8 − химию и физику, 10 занимаются физикой и математикой, 12 − математикой и химией и 3 студента изучают все три предмета. Определить:

а) сколько студентов изучают хотя бы один из трех перечисленных предметов;

б) сколько студентов не изучают ни один из трех перечисленных предметов;

в) сколько студентов изучают только математику.

3. Пять пар идут в кино. Сколькими способами они могут занять места, если

а) они могут сидеть в любом порядке?

б) все пять пар сидят подряд?

4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 10 или на 15?

5. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов 5 ученикам так, чтобы трое из них получили по 4 предмета, а двое − по 3 предмета?

6. Четверо студентов сдают по два экзамена. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто не получил неудовлетворительной отметки?

17 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В отделе работает 48 человек. Из них 25 человек знают английский язык, 15 − немецкий язык, 20 − итальянский язык, 6 – английский и немецкий, 8 – английский и итальянский, 3 – немецкий и итальянский; все три языка знают 2 человека. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков; б) сколько человек знают точно 2 языка; в) сколько человек знают только английский язык.

3. В группе 8 юношей и 6 девушек. Сколько существует вариантов выбора делегации из 7 человек на собрание, если известно, что не менее половины делегации − юноши.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 пятерки и хоть одна тройка.

5. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов 5 ученикам так, чтобы четверо из них получили по 4 предмета, а пятый − 2 предмета?

6. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько имеется комбинаций для выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных были и куры, и утки, и гуси?

18 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В научном отделе работает 51 человек. Из них 26 человек знают английский язык, 13 – немецкий язык, 21 – итальянский язык, 5 – английский и немецкий, 9 – английский и итальянский, 3 – немецкий и итальянский; все три языка знают 3 человека. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков; б) сколько человек знают точно 2 языка; в) сколько человек знают только немецкий язык.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть хоть одна девятка и хоть одна пятерка.

5. Сколько существует способов расставить m нулей и n единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?

19 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В научном отделе работает 52 человека. Из них 15 человек знают английский язык, 19 – немецкий язык, 17 – итальянский язык, 3 – английский и немецкий, 2 – английский и итальянский, 8 – немецкий и итальянский; все три языка знает 1 человек. Определить: а) сколько человек не знают ни одного из этих языков?; б) сколько человек знают точно 2 языка?; в) сколько человек знают только итальянский язык?

3. В отделе 10 мужчин и 11 женщин. Сколько существует вариантов выбора делегации из 8 человек на собрание, если известно, что не менее половины мужчин отдела были на собрании.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть ровно одна пятерка и хоть один ноль.

5. Сколькими способами можно раздать 16 различных предметов 5 ученикам так, чтобы трое из них получили по 4 предмета, а двое − по 2 предмета?

6. Сколькими способами можно разбить m+n+p предметов на 3 группы так, чтобы в одной было m, в другой n, а в третьей p предметов?

20 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В группе из 100 студентов 30 изучают французский язык, 47 — испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 — испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не изучают ни один из трех языков. Определить: а) сколько студентов изучают французский или немецкий язык, но не изучают испанский; б) сколько студентов изучают только один из трех языков; в)сколько человек изучают все 3 языка.

3. В магазине имеются в наличии 8 различных книг Бредбери и 10 различных книг Ефремова. Сколько существует вариантов выбора покупки из 7 книг, если известно, что не менее половины покупки составляют книги Ефремова.

4. Найти количество n-значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 шестеркки и точно один ноль.

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «барабан» так, чтобы три буквы «а» не шли подряд?

6. Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми?

21 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 4 девятки и хоть одна пятерка.

6. Сколькими способами можно распределить 6 разных ящиков на 8 этажей, чтобы на 8 этаже было не менее двух ящиков? Ровно два ящика на 3 этаже?

22 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть хоть одна девятка и хоть одна пятерка.

6. В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы?

23 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть ровно две пятерки и хоть одна единица.

6. Сколько можно сделать перестановок из n элементов.ю в которых данные два элемента a и b не стоят рядом? Данные три элемента a, b, c не стоят рядом?

24 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

4. Найти количество n-значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 девятки и точно один ноль.

6. Трое студентов сдают по три экзамена. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто не получил неудовлетворительной отметки?

25 вариант

1. Найти коэффициент при в разложении бинома .

2. В группе из 100 студентов 35 изучают французский язык, 42 — испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 — испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не изучают ни один из трех языков. Определить:а) сколько человек не изучают ни одного зика?; б) сколько студентов изучают только один из трех языков? в) сколько студентов изучают два из трех языков?

3. В магазине имеются в наличии 8 различных видов шариковых ручек и 10 различных видов гелиевых ручек. Сколькими способами можно купить 12 различных ручек, если известно, что не менее половины купленных ручек шариковые.

4. Найти количество -значных чисел, делящихся на 5, в записи которых есть точно 3 девятки и хоть один ноль.

5. Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород» так, чтобы две буквы «о» не стояли рядом?

6.. Сколько существует способов расставить на полке не менее 6-ти книг из имеющихся 8-ми?

Домашнее задание №3. Тема: «Комбинаторика»

Поиск по сайту