Расчет ферм
Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис. 4.1 а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1 б).
Рис. 4.1
Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие
.
При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия.
Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 4.2 а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 4.2 б).
Рис. 4.2
При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Здесь рассмотрим только два метода.
Метод вырезания узлов основан на последовательном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы.
Сущность метода: вырезается узел, в котором не более двух неизвестных; составляются уравнения равновесия SX = 0 и SY = 0; из них определяются неизвестные продольные усилия. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет.
В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 4.3 а) сначала вырежем узел A (рис. 4.3 б) и запишем уравнения равновесия:
SX = NA-10+NA-1 cosa=0;
SY = NA-1 sina+1,5P=0.
Из них: NA-1= –1,5P/sina; NA-10=1,5P/tga.
Рис. 4.3
Теперь вырежем узел 10 (рис. 4.3 в) и запишем условия равновесия:
SX = N9-10 –NA-10=0;
SY = N1-10=0.
Из них получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tga; N1-10=0.
После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5.
У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле
,
где 
– усилия в стержнях, 
– длины стержней, 
и 
– проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок.
Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм:
1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 4.4 а), то оба усилия равны нулю: N1 = N2 = 0;
2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 4.4 б), то N1 = P, N2 = 0;
3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 в), то усилия в двух стержнях равны: N1 = N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3 = 0;
4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 г), то усилия также попарно равны между собой: N1 = N2, N3 = N4.
Рис. 4.4
Используя эти признаки легко определяются некоторые усилия рассмотренной фермы (рис. 4.3 а):
– по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0;
– по 3-му признаку NA-10=N9-10=N8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5.
Метод сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из одного уравнения.
Сущность метода: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтобы появилось не более трех неизвестных усилий; в точке пересечения направлений двух из них составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие.
Точка, в которой составляется уравнение момента, называется моментной точкой.
В качестве примера рассмотрим ту же ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 4.3 а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 4.5), составим уравнение момента в точке 1:
SM1 = N9-10× 
–1,5P×a=0.
Отсюда получаем: N9-10=4,5P. Рис. 4.5
Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Поэтому
SM9 = –N1-2 b –1,5P×2a=0.
Так как b=2a×sina, получаем N1-2=–1,5P/ sina.
Для N1-9: SMA = – N1-9×c=0. Отсюда получаем N1-9=0.
Иногда (например, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В этом случае вместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.
У метода сквозных сечений есть один недостаток: в сложных фермах не удается провести такое сквозное сечение, чтобы появились только три неизвестных усилия. В этом случае некоторые неизвестные нужно определять заранее или использовать другие методы (методы совместных сечений или замены связей).
Расчет разрезных балок
В зависимости от расположения опор и шарниров, разрезные балки могут быть разными (рис. 4.6).
Рис. 4.6
Для геометрической неизменяемости и статической определимости разрезных балок должно выполняться условие
.
Взаимодействие частей разрезной балки легче изучать путем составления их этажных схем. Для этого выявляются те части балки, которые могут самостоятельно нести внешнюю нагрузку (назовем их главными балками). Все главные балки изображаются на нижнем этаже. Те части балки, которые примыкают к главным балкам (подвесные балки) и могут нести нагрузку только при опирании на главные балки, изображаются этажом выше и т.д. В результате получается этажная схема балки.
Например, рассмотренные на рис. 4.6 разрезные балки можно представить в виде следующих этажных схем (рис. 4.7).
Рис. 4.7
Расчет разрезных балок начинается с самого верхнего этажа: определяются опорные реакции и внутренние усилия этой части балки от ее нагрузки. После этого переходим к нижележащему этажу. Однако, кроме своей нагрузки, к нему следует приложить и давление от вышележащего этажа (которое равно реакции вышележащего этажа, но направлено в противоположную сторону). Затем определяются его реакции и внутренние усилия. Далее расчет продолжается до самого нижнего этажа.
Рассмотрим пример (рис. 4.8 а). Вначале строим этажную схему (рис. 4.8 б), проводим расчет подвесной балки (рис. 4.8 в), а затем главной балки (рис. 4.8 г). Полученные эпюры для отдельных частей балки объединяем в общие эпюры M и Q (рис. 4.8 д, е).
Рис. 4.8