И. В Кольчик
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
КОМПЛЕКС УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Часть 2
Рекомендовано Ученым советом Нижегородского государственного
технического университета в качестве учебно-методического пособия
для студентов заочной и дистанционной форм обучения
всех технических специальностей
Нижний Новгород 2007
УДК. 93/99
Кольчик И. В. Высшая математика: комплекс учебно-методических материалов: Ч.2 /Кольчик И. В.; Нижегород. гос. техн. ун-т. Нижний Новгород, 2007.-134с.
Изложен опорный конспект лекций, соответствующий рабочей учебной программе. Даются методические указания к выполнению контрольных работ, а также тесты для контроля заданий и список рекомендуемой литературы.
Рекомендуется для студентов всех технических специальностей заочной и дистанционной форм обучения.
Рецензент
Научный руководитель факультета информатики и прикладной математики НФ ГУ ВШЭ, заслуженный деятель науки РФ, профессор Петрухин Н. С.
Редактор Н. Н. Максимова
Подписано в печать Формат 60×84 
.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,5. Уч.-изд. л. 7,0.
Тираж 500 экз. Заказ
Нижегородский государственный технический университет
им. Р. Е. Алексеева
Типография НГТУ.
Адрес университета и полиграфического предприятия:
603950, ГСП-41,г. Нижний Новгород, ул.Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет, 2007
© Кольчик И. В., 2007
СОДЕРЖАНИЕ
1. Пояснительная записка ……..…………………………………………… 6
2. Рабочая учебная программа дисциплины ……………………………… 7
3. Дифференциальное исчисление …………………………………………… 8
3.1. Дифференциальное исчисление. Производная. Задачи,
приводящие к определению производной……………………………. 8
3.2.Определение производной. Уравнение касательной и нормали к
кривой. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции ……………………………………………………………… 10
3.3. Односторонние конечные и бесконечные производные …...……….. 11
3.4. Дифференцируемость функции в точке …………............................... 13
3.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного………………………………………………………………… 16
3.6. Производные основных элементарных функций…………………..... 17
3.7.Производная сложной функции………………………………………. 18
3.8.Дифференцирование обратных функций…………………………..… 19
3.9. Таблица производных…………………………………………………. 21
3.10. Производная от функции, заданной параметрически……………… 23
3.11. Логарифмическая производная……………………………………… 24
3.12.Производная неявной функции……………………………………… 26
3.13. Дифференциал функции……...……….……………………………… 26
3.14.Геометрический смысл дифференциала…....……………………….. 27
3.15.Приближенные вычисления с помощью дифференциала………….. 28
3.16. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого
дифференциала………………………………………………………... 29
3.17.Производные и дифференциалы высших порядков………….…….. 29
3.18.Векторные функции скалярного аргумента………………………. 32
3.19.Предел и непрерывность………………………………………….. 33
3.20.Дифференцирование векторной функции………...…………………. 33
3.21.Правила дифференцирования…………………..………………….. 34
3.22.Производные высших порядков…………………………………… 34
3.23. Кривизна кривой………….………………………………………… 35
3.24. Приложения производной. Основные теоремы дифференциального
исчисления …………………………………………………………… 37
3.25. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя…………………. 41
3.26.Раскрытие других видов неопределенностей………………………. 43
3.27.Формула Тейлора……………………………………………………... 44
3.28.Формула Маклорена………………………………………………….. 45
3.29.Разложение некоторых элементарных функций по формуле
Маклорена ….….……………………………………………………… 46
3.30.Исследование поведения функций и построение графиков....…… 47
3.31.Экстремум функции..……………………………………..………… 49
3.32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке....…….. 53
3.33.Направление выпуклости и точки перегиба графика функции…... 53
3.34.Асимптоты графика функции………..…....……………..…………. 55
3.35.Схема исследования графика функции….....………………………. 58
4. Интегральное исчисление
4.1. Неопределенный интеграл…..…..…………………………………… 60
4.2. Свойства неопределенного интеграла….…………………………… 61
4.3. Таблица основных интегралов………….…………………………… 63
4.4. Основные методы интегрирования………………….………………. 64
4.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.... 65
4.6. Интегрирование рациональных функций……….………………….. 68
4.7. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных
функций…..……………………………………………………………. 70
4.8. Определенный интеграл…………………….……………………….. 75
4.9. Основные свойства определенного интеграла…………….……….. 76
4.10. Формулы оценки определенных интегралов (полагаем а<b).…… 77
4.11. Интеграл с переменным верхним пределом………….…………… 77
4.12. Формула Ньютона-Лейбница(основная формула интегрального
исчисления)……………………………………………………………. 77
4.13. Замена переменной в определенном интеграле…………………... 78
4.14. Интегрирование по частям в определенном интеграле….……….. 81
4.15. Приложение определенного интеграла. Площади плоских фигур. 83
4.16. Вычисление длинны дуги кривой………………………………..… 87
5. Дифференциальные уравнения ………………………………………….. 93
5.1. Дифференциальные уравнения……………………………………… 93
5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка…………………... 93
5.3. Существование решения дифференциального уравнения………… 94
5.4. Уравнения с разделяющимися переменными……………………… 95
5.5. Однородные уравнения и приводящиеся к ним……………………. 96
5.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………. 98
5.7. Уравнение Бернулли..………………………………………………. 100
5.8. Уравнения, допускающие понижение порядка…………………… 102
5.9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка……... 104
5.10. Линейные однородные уравнения второго порядка…………….. 105
5.11. Линейные неоднородные уравнения второго порядка………….. 106
5.12. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами…………………………………... 108
5.13. Метод неопределенных коэффициентов…………………………. 110
5.14. Системы дифференциальных уравнений первого порядка……... 114
6. Контроль знаний. Вопросы к экзамену...……………………………….117
7. Задания к контрольным работам 3,4 ……............................................... 119
Список литературы …………………………………………………..……132
Пояснительная записка
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по заочной форме, и соответствует рабочей программе, сформированной на основе Государственных образовательных стандартов высшего профессионального обучения по курсу «Математика» для соответствующих направлений подготовки дипломированных специалистов.
Основные цели и задачи курса – овладение студентами основных понятий математики и математических методов исследования; выработка у студентов навыков решения типовых задач.
Изучение математики на заочной форме обучения проводится в течение четырех семестров. Данное пособие содержит необходимые материалы для изучения второй части курса (второй семестр).
В этой части курса изучаются следующие темы: дифференциальное исчисление функции одной переменной; интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальные уравнения.
В течение семестра студенты оформляют в тетрадях контрольные работы №3, №4. Контрольные работы проводятся по вариантам, изложенным в методическом пособии «Высшая математика. Контрольная работа 3, 4 для студентов-заочников (второй семестр)» (Н.Новгород, 2003 г.).
В данном пособии также приведены задания к контрольным работам 3, 4.
Особенностью заочной формы обучения является небольшое количество аудиторной нагрузки, что компенсируется аудиторными консультациями. По окончании семестра проводится экзамен в письменной форме.
Описание содержания основных тем