Теорема 3.6. (теорема Лопиталя, раскрытие неопределенности вида 
).
Пусть функции 
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a. Пусть, далее 
и 
в указанной окрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных 
(конечный или бесконечный), то существует и предел 
, причем справедлива формула
(3.14)
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1. Если производные 
и 
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции , то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда 
Примеры. Вычислить пределы. Разделим производную числителя на производную знаменателя
1. 
2. 
Замечание 3. Если в формулировке теоремы заменить требование 
на условие 
, то теорема остается справедливой, то есть можем раскрывать неопределенность вида 
.
Пример
Вывод: степенная функция 
- бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая функция 
.
Раскрытие других видов неопределенностей
Неопределенности вида 
можно свести к неопределенностям 
Покажем это на примерах. Вычислим следующие пределы, преобразовав на первом шаге исходную функцию:
1. 
Неопределенности вида 
Примеры. Вычислить пределы.
1. 
Но 
и в показателе степени получена неопределенность вида 
, получаем 
Рассмотрим 
окончательно получаем 
2. 
Рассмотрим
окончательно получаем
Формула Тейлора
Формула Тейлора – одна из главных формул математического анализа, позволяющая функцию, заданную сложным для вычисления аналитическим выражением, заменить удобным для анализа многочленом.
Теорема 3.7. (Тейлора)
Пусть функция 
имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n +1. Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности, 
Тогда между точками a и x найдется точка c такая, что справедлива следующая формула:
(3.15)
Эта формула называется формулой Тейлора, а 
остаточный член, записанный в форме Лагранжа.
Эту формулу можно записать в виде 
Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию 
многочленом 
с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена 
Формула Маклорена
При a=0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена.
(3.16)
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: 
Разложение некоторых
Элементарных функций по формуле Маклорена
1. 
Так как 
то формула Маклорена имеет вид:
2. 
Так как 
то формула Маклорена имеет вид
3. 
Так как 
то формула Маклорена имеет вид:
4. Аналогично можно получить:
Пример
Сколько членов в формуле Маклорена требуется взять для того, чтобы вычислить значение e с точностью 
(найти n).
тогда по формуле Маклорена имеем (x =1):
для n =2 
для n =3 
для n =4 
для n =5 
для n =6 
Следовательно, если взять n =6, то требуемое неравенство удоволетворяется.