1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
Действительно,
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.
В самом деле, так как .
3. Постоянный множитель можно вынести из – под знака интеграла, т.е. если
Действительно, пусть - первообразная для функции , т.е. Тогда - первообразная для функции
Следовательно,
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.
Действительно, пусть и - первообразные для функций и
Тогда функции является первообразными для функций .
Следовательно,
Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.
5. Инвариантность формулы интегрирования.
Если то и - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Рассмотрим
Положим - непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим сложную функцию В силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем:
Отсюда т.е. формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неё, имеющей непрерывную произвольную.
Пусть в удается выделить некоторую функцию тогда имеем:
Таблица основных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование (данный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам).
Примеры. Найти интегралы
1.
2.
.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Метод подстановки.
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на теореме.
Теорема 4.2. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пусть - множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Частные случаи замены переменной:
1)
2)
3)
Примеры. Найти интегралы
1)
2)
3)
4.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Выделим в знаменателе полный квадрат
Введем замену
Пример. Найти интегралы
Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 4.3. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке функция также имеет первообразную и справедлива формула
(4.1)
Доказательство
Из равенства следует, что
(4.2)
Первообразной функции на промежутке является функция . Функция имеет первообразную на по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежутке . Интегрируя равенство (4.2), получаем формулу (4.1) – формулу интегрирования по частям.
Так как то формулу (4.1) можно записать в виде
(4.3)
Замечания
1. Если подынтегральная функция содержит трансцендентные функции (например; то их берут в качестве а все остальное подынтегральное выражение – в качестве
2. Если подынтегральное выражение имеет вид
многочлен n – й степени, то в качестве берут , а все остальное выражение – в качестве
3. Вспомогательные записи можно отделить вертикальными чертами.
Примеры. Найти интегралы
1.
2.
3.