Свойства неопределенного интеграла




 

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

В самом деле, так как .

 

3. Постоянный множитель можно вынести из – под знака интеграла, т.е. если

Действительно, пусть - первообразная для функции , т.е. Тогда - первообразная для функции

 

Следовательно,

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Действительно, пусть и - первообразные для функций и

Тогда функции является первообразными для функций .

Следовательно,

Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

5. Инвариантность формулы интегрирования.

Если то и - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Рассмотрим

Положим - непрерывно дифференцируемая функция.

Рассмотрим сложную функцию В силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем:

Отсюда т.е. формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неё, имеющей непрерывную произвольную.

Пусть в удается выделить некоторую функцию тогда имеем:

 

Таблица основных интегралов

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

 

Основные методы интегрирования

 

1. Непосредственное интегрирование (данный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам).

Примеры. Найти интегралы

1.

2.

.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Метод подстановки.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на теореме.

Теорема 4.2. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пусть - множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Частные случаи замены переменной:

1)

2)

3)

Примеры. Найти интегралы

1)

2)

3)

 

4.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Выделим в знаменателе полный квадрат

Введем замену

Пример. Найти интегралы

 

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 4.3. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке функция также имеет первообразную и справедлива формула

(4.1)

Доказательство

Из равенства следует, что

(4.2)

 

Первообразной функции на промежутке является функция . Функция имеет первообразную на по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежутке . Интегрируя равенство (4.2), получаем формулу (4.1) – формулу интегрирования по частям.

Так как то формулу (4.1) можно записать в виде

(4.3)

Замечания

1. Если подынтегральная функция содержит трансцендентные функции (например; то их берут в качестве а все остальное подынтегральное выражение – в качестве

2. Если подынтегральное выражение имеет вид

многочлен n – й степени, то в качестве берут , а все остальное выражение – в качестве

3. Вспомогательные записи можно отделить вертикальными чертами.

Примеры. Найти интегралы

1.

2.

3.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: