Что такое делитель?
Мы знаем, что делитель - это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8: 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, 8 делится на 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
8: 2 = 4
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
9: 3 = 3
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10: 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое а делится без остатка.
На первый взгляд, определение может показаться непонятным и сбить с толку. Это по причине того, что данное определение содержит в себе переменную a. Но всё станет понятным, если вместо переменной a подставить любое число. Например, подставим вместо переменной a число 12 и прочитаем определение:
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Теперь определение стало понятным. Делителем числа 12 является число, на которое 12 делится без остатка. Попробуем перечислить эти числа:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12: 1 = 12
12: 2 = 6
12: 3 = 4
12: 4 = 3
12: 6 = 2
12: 12 = 1
Кратные числа
Если какое-то число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа 3:
6: 3 = 2
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
В этом определении присутствует переменная. Это переменная a. Если вместо переменной a подставить любое число, то это определение станет понятным. Например, подставим вместо переменной a число 5 и прочитаем определение:
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5.
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25… Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5: 5 = 1
10: 5 = 2
15: 5 = 3
20: 5 = 4
25: 5 = 5
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить решение задач. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например 380: 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385: 10, то получится 38 и 5 в остатке, потому что 380: 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385: 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, т.е. пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2. Примеры:
10: 5 = 2
100: 5 = 20
100: 2 = 50
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5. Примеры:
355: 5 = 71,
200: 5 = 40
475: 5 = 95
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
27: 3 = 9
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
18: 9 = 2
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, потому что оно делится без остатка на 2:
20: 2 = 10
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, потому что после его деления на 2 остается остаток 1:
21: 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не делая деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, потому что оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, потому что оканчивается четной цифрой. Числа 305 и 1027 являются нечётными, потому что они оканчиваются нечётными цифрами.
Конечно, чётность и нечётность чисел можно проверить, сделав деления на 2, но в данном случае, когда это можно сделать «на глаз», считаем деление лишней операцией.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:
5: 1 = 5
5: 5 = 1
Значит, 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, потому что у него два и более делителя: 4, 2 и 1:
4: 4 = 1
4: 2 = 2
4: 1 = 4
Значит, 4 является составным число.