Оценку измеряемой величины, за которую принимают среднее ариф-метическое значение исправленных результатов измерений, вычисляют по формуле:
где n – количество результатов измерений; xi – i –ое значение результата измерений.
Для удобства вычислений эту формулу допускается записать в виде:
где а - близкое к значение, удобное для расчета.
Расчет среднего квадратического отклонения
Результатов измерений
Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляют по формуле:
Результат измеряемого значения зависит от числа измерений п и явля-ется случайной величиной. Поэтому для различных п удобно вычислять среднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения ре-зультата измерения по формуле:
Обнаружение и исключение грубых погрешностей
Из результата измерений
Грубые погрешности (промахи) - это погрешности, не характерные для технологического процесса или результата, приводящие к явным искажениям результатов измерения.
Решение задачи исключения промахов выполняют общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утвер-ждении, что результат измерения не содержит промаха, т. е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистиче-скими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то этот результат измерения рассматривают как промах и его ис-ключают из рассматриваемой совокупности.
Проверку статистической гипотезы проводят для принятого уровня значимости q, принимаемого равным 0,01; 0,05; 0,1 и т.д. Принятый уровень значимости означает, что выдвинутая гипотеза может быть принята с дове-рительной вероятностью Р = 1 – q.
Для проверки гипотез используются критерии Граббса, Ирвина, Шо-вене, Романовского, Райта (3 σ), Смирнова, Диксона, вариационного разма-ха и др.
1. Критерий Граббса. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа резуль-
татов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вы-числяют критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что наибольший хтах или наименьший xmin результат измерений вызван грубыми погрешностями:
Сравнивают G1 и G2 с теоретическим значением GT критерия Граббса (табл. П1 приложений) при выбранном уровне значимости q.
Если G1 > GT, то xmax исключают как маловероятное значение, если G2 > GT,то исключают xmin. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое исреднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторяют.
Если G1 ≤ GT, то хmах не считают промахом и его сохраняют в ряду ре-зультатов измерений, если G2 ≤ GT, то сохраняют в ряду результатов измере-ний xmin.
2. Критерий Ирвина. Для полученных результатов измерений опреде-
ляют значение критерия Ирвина по формулам:
Полученное значение критерия сравнивается с табличным λТ (табл. П2 приложений). Если λ > λТ, то результат измерений является грубой погреш-ностью и подлежит исключению при дальнейшей обработке.
3. Если число измерений n < 10, то может быть использован критерий
Шовене. В этом случае грубой погрешностью считается результат xi, если
разность превышает значения t∙σ, определяемые в зависимости от числа измерений:
4. При числе измерений 10 < п < 20 применяют критерий Романовско-
го. При этом вычисляют отношение:
где – среднее арифметическое, определенное без сомнительного ре-зультата;
σ 0-среднее квадратическое отклонение,определенное без сомнитель-ного результата.
Полученное значение β сравнивают с теоретическим βТ при выбран-ном уровне значимости q (табл. П3 приложений). При β > βТ сомнительный результат измерений является промахом и подлежит исключению из рас-сматриваемой совокупности.
5. Критерий Райта или критерий 3 σ - наиболее распространенный. Он используется, когда количество измерений п ≥ 20...50. В этом случае счита-
ется, что результат, полученный с вероятностью Р= 0,0027, маловероятен и его можно квалифицировать как промах, т. е. сомнительный результат дол-жен быть исключен из измерений, если
6. Критерий Смирнова используется при объемах выборки n ≥ 25 или при известных значениях генерального среднего и среднего квадратического отклонения. При этом определяются значения критерия по формуле:
Найденное значение сравнивают с табличным βСТ (табл. П4 приложе-ний) и при условии β > βCT результат измерений признается промахом.
7. Критерий Диксона. При использовании критерия вычисляется коэф-
фициент Диксона для наименьшего и наибольшего значений (табл. 1). Коэф-фициенты r 10 и r 11 применяют, когда имеется один промах, а коэффициенты r 21и r 22–при двух промахах.
Таблица 1 – Формулы для расчета критерия Диксона
| Объем выборки | Коэффициент Диксона | Для наименьшего | Для наибольшего | ||||||||
| результата | результата | ||||||||||
| 3 - 7 | r 10 | ||||||||||
| 8 – 10 | r 11 | ||||||||||
| 11 – 13 | r 21 | ||||||||||
| 14 - 25 | r 22 | ||||||||||
Рассчитанные значения коэффициентов сравниваются с табличными rq (таблица П5 приложений) и принимается решение об отсутствии грубых по-грешностей при r < rq или о наличии промахов при r < rq.