Элементы математической статистики
Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.
Основные задачи математической статистики.
1. Создание методов сбора и группировки обрабатываемого статистического материала, полученного в результате наблюдений за случайными процессами.
2. Разработка методов анализа полученных статистических данных.
3. Получение выводов по данным наблюдений.
Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.
Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.
Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.
Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть ее объекты должны достаточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности.
Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.
В результате обработки и систематизации первичных данных статистического наблюдения получают группировки, называемые рядами распределения.
Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку.
Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых.
Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.
Пример:
Найдем среднее арифметическое чисел 3, 5, 8, 16.
Решение.
У нас четыре числа. Значит, надо их сумму разделить на 4. Это и будет среднее арифметическое данных чисел:
(3 + 5 + 8 + 16): 4 = 8.
Размах ряда чисел (R) – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Пример:
Найти размах чисел 3, 7, 9, 11, 33.
Решение:
Наибольшее число здесь 33, наименьшее 3. Значит, размах составляет 30, т.е.: 33 – 3 = 30.
Мода ряда чисел (Мо) – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Пример:
Найти моду ряда чисел 2, 7, 4, 6, 7, 13, 22, 7, 11, 21, 9.
Решение:
Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.
Медиана (Ме).
В упорядоченном ряде чисел:
Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине.
Пример:
В ряде чисел 1, 7, 8, 12, 23 медианой является число 8, находящееся посередине.
Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.
Пример:
Найти медиану чисел 3, 6, 8, 12, 15, 19.
Решение:
Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:
(8 + 12): 2 = 10.
Число 10 и является медианой данного ряда чисел.
В неупорядоченном ряде чисел:
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Пример 1:
Найдем медиану произвольного ряда чисел 4, 1, 5, 23, 19, 15, 21.
Решение:
Располагаем числа в порядке возрастания:
1, 4, 5, 15, 19, 21, 23.
Посередине оказывается число 15. Оно и является медианой данного ряда чисел.
Пример 2:
Добавим к нашему произвольному ряду чисел еще одно число, чтобы ряд стал четным, и найдем медиану:
4, 1, 5, 23, 19, 15, 21, 19.
Решение:
Снова выстраиваем упорядоченный ряд:
1, 4, 5, 15, 19, 19, 21, 23.
Посередине оказались числа 15 и 19. Находим их среднее значение:
(15 + 19): 2 = 17.
Число 17 и является медианой данного ряда чисел.
Частота - это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.
Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.
Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:
Такие таблицы называют таблицами частот.
Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.