МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
СЕВМАШВТУЗ
ФАКУЛЬТЕТ: IV “ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ”
КАФЕДРА: №12 «ФИЗИКИ»
Лабораторная работа
ДИФРАКЦИЯ ЛАЗЕРНОГО СВЕТА НА СЕТКЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЕТКИ.
СЕВЕРОДВИНСК
2008
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ФПО-6
ДИФРАКЦИЯ ЛАЗЕРНОГО СВЕТА НА СЕТКЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЕТКИ.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучить явление дифракции на двухмерной решётке (сетке), определить параметры сеток с различными размерами ячеек по дифракционной картине и при прямом измерении.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Дифракция света – явление, наблюдающееся при распространении света мимо краев непрозрачных или прозрачных тел, сквозь узкие отверстия. При этом происходит нарушение прямолинейности распространения света. Приближенная теория дифракции света основана на применении принципа Гюйгенса - Френеля. Согласно принципу Гюйгенса, каждый элемент поверхности, которого достигла в данный момент волна, является источником вторичных волн, причем огибающая этих вторичных волн будет волновой поверхностью в следующий момент времени (рис.1). Френель дополнил принцип Гюйгенса, введя представление о когерентности вторичных волн и их интерференции.
Согласно принципу Гюйгенса – Френеля, волновое возмущение в некоторой точке C (рис. 2) можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности AOB. Таким образом, результирующую амплитуду в точке наблюдения можно найти, просуммировав амплитуды вторичных волн от всех элементарных участков волновой поверхности с учётом их фаз.
В данной работе рассматривается дифракция Фраунгофера. Для наблюдения дифракционной картины Фраунгофера необходимо выполнение следующих условий:
1) На дифракционный объект падает параллельный световой пучок. Этого можно добиться, либо поставив точечный источник света в фокусе собирающей линзы (как известно, лучи, прошедшие через фокус линзы, после неё идут параллельно), либо использовав лазер, который даёт как раз параллельный пучок. В данной работе используется лазер.
2) Дифракционная картина наблюдается «в бесконечности», то есть на столь большом расстоянии от дифракционного объекта, что идущие от него лучи можно считать параллельными. Для наблюдения дифракционной картины, локализованной «в бесконечности», можно поместить сразу за объектом собирающую линзу, а экран поместить в её фокальной плоскости (как известно, лучи, падающие на линзу параллельно, собираются в одной точке).
Приближённо условие наблюдения дифракции Фраунгофера можно задать следующим образом:
l >> 
, (1)
где l – расстояние от дифракционного объекта до точки наблюдения, d – период решётки, N – число щелей решётки.
Рассмотрим дифракцию света от узкой щели с параллельными краями шириной b. Пусть параллельный пучок монохроматических световых волн с длиной l падает нормально к плоскости щели (рис. 3).
Рис. 3
Чтобы определить интенсивность света в любой точке экрана, воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. Разобьём щель на элементарные зоны в виде полосок равной ширины, параллельных краям щели.
Амплитуду результирующего колебания, возбуждаемого в точке наблюдения всеми элементарными зонами, проще всего найти с помощью векторной диаграммы. Чтобы её правильно построить, необходимо отметить следующие особенности:
1) В определённой точке наблюдения на экране линзой собираются лучи, идущие до линзы параллельно, то есть под одинаковым углом φ к оптической оси линзы.
2) Мы задали условие, что элементарные зоны имеют одинаковую ширину. Следовательно, одинакова и их площадь.
Известно, что амплитуда колебания, возбуждаемого элементарной зоной, зависит от её площади, расстояния до точки наблюдения и угла между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения (в рассматриваемом случае это угол φ). С учётом особенностей 1) и 2) получаем, что все элементарные зоны будут возбуждать колебания одинаковой амплитуды; кроме того, разность фаз так же будет одинакова для всех соседних зон.
Таким образом, векторная диаграмма представляет собой цепочку векторов dA1, dA2, …, dAN одинаковой длины, повёрнутых один относительно другого на один и тот же угол δ, изображающий разность фаз (рис. 4)
|
|
Рис. 4
Результирующая амплитуда изобразится вектором А. Какие именно значения примет А, зависит от разности фаз δ. Следует подметить для дальнейших рассуждений, что разность фаз между волнами, приходящими от краёв щели (то есть между dA1 и dAN) равна Nδ = γ.
Разность фаз и разность хода связаны известным соотношением:
Из рисунка 3 видно, что разность хода для крайних лучей равна:
,
откуда получаем связь разности фаз γ с углом φ:
(2)
Рассмотрим, какова будет результирующая интенсивность в различных точках экрана.
В точку Р0, находящуюся на оси симметрии картины, все волны приходят в одинаковой фазе (для этой точки угол φ = 0, соответственно, согласно формуле (1), γ = 0 и δ = 0). Цепочка векторов dA для этого случая является прямой, и результирующая амплитуда А определяется просто суммой dA:
Рис. 5
Таким образом, в точке Р0 наблюдается так называемый максимум нулевого порядка.
При смещении от центра дифракционной картины угол φ увеличивается, следовательно, согласно формуле (2), растёт и значение разности фаз δ и γ. Цепочка векторов, оставаясь постоянной по длине, закручивается, в результате чего значение результирующей амплитуды А уменьшается (рис. 6):
Рис. 6
При некотором значении угла φ разность фаз γ составит 2π, то есть цепочка замкнётся:
Рис. 7
Вектор результирующей амплитуды А в этом случае равен нулю. Таким образом, наблюдается минимум (1-го порядка) (рис. 7).
При дальнейшем смещении точки наблюдения от центра дифракционной картины цепочка продолжит закручиваться, начиная делать второй виток. При некотором положении точки наблюдения интенсивность в ней снова достигнет максимума, правда, значительно меньшей интенсивности, чем максимум нулевого порядка (рис. 8).
Затем, при дальнейшем удалении от центра дифракционной картины, когда цепочка полностью сделает второй оборот, её начало и конец снова совпадут (при γ = 4π), и будет наблюдаться минимум 2-го порядка (рис. 9):
Рис. 8 Рис. 9
Таким образом, можно сделать вывод, что минимумы будут наблюдаться при значениях γ = 2mπ, где m – порядок минимума.
Подставив это значение в формулу (2), получим условие минимума для дифракции Фраунгофера на щели:
(3)
График распределения интенсивности в зависимости от расстояния до центра дифракционной картины выглядит следующим образом:
Рис. 10
Угол, на который отклоняется от средней линии последующий максимум, зависит от ширины щели b, что видно из формулы (3). Чем меньше ширина щели, тем больше отклоняется максимум. Если щель широкая, то максимумы мало отклоняются друг от друга, и дифракция наблюдается слабо.
Итак, для наблюдения явления дифракции следует брать узкие щели. Однако, с уменьшением ширины щели уменьшается интенсивность света, проходящего через щель, что затрудняет наблюдение дифракции. Для усиления интенсивности максимумов дифракционной картины используется дифракционная решётка. Простейшая идеализированная дифракционная решётка представляет собой множество одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Ширину одной щели обозначим b, а расстояние между щелями – a. Сумма a и b обозначается d и называется периодом (постоянной) решётки.
Пусть на дифракционную решётку нормально падает плоская волна. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера (рис. 11).
Так как решётка освещается когерентным светом, то волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется по сравнению со случаем дифракции на одной щели.
Рассмотрим для простоты случай, когда решётка содержит 4 щели. Каждая из этих щелей будет возбуждать в точке наблюдения колебания с амплитудой A1, A2, A3, A4. Эти векторы имеют одинаковую длину, поскольку щели одинаковы, а так как для конкретной точки наблюдения волны от всех щелей распространяются под одинаковым углом φ к оптической оси, то одинакова и разность фаз между ними.
Рис. 11
Таким образом, векторная диаграмма имеет следующий вид (рис.12):
Рис. 12
Результирующая амплитуда А зависит от разности фаз θ.
Как видно из рисунка 11, разность хода для соседних щелей:
,
соответственно, получаем такую взаимосвязь между φ и θ:
(4)
Сразу можно отметить, что для центра дифракционной картины φ = 0 и, соответственно, θ = 0. Цепочка векторов превращается в прямую (рис. 13):
Рис. 13
Наблюдается максимум нулевого порядка.
При смещении от центра дифракционной картины угол φ будет постепенно возрастать. Цепочка векторов будет периодически закручиваться и снова распрямляться (рис. 14):
а) б)
в) г)
д) е)
ё) ж)
Рис. 14
В случаях, когда цепочка полностью распрямляется, имеют место так называемые главные максимумы, отличающиеся наибольшей интенсивностью. Цепочка распрямляется при значениях разности фаз θ = 2πm. Подставляя это значение в соотношение (4), получим условие главных максимумов дифракционной решётки:
(5)
Между главными максимумами находятся дополнительные (вторичные) максимумы гораздо меньшей интенсивности (соответствуют векторным диаграммам на рис. 14 в) и д)), разделённые дополнительными минимумами (рис. 14, диаграммы б), г) и е)), в которых результирующая интенсивность равна нулю.
Из векторных диаграмм можно сделать вывод, что в рассматриваемом случае решётки из четырёх щелей дополнительные минимумы наблюдаются при значениях разности хода θ = m/(π/2), где m/ - целые числа, кроме тех, при которых наблюдаются главные максимумы. Подставляя эти значения в (4), получим:
Число 4 в этом выражении присутствует потому, что рассматриваем 4 щели. Поэтому можно сделать вывод, что для N щелей условие дополнительных минимумов приобретает вид:
(6)
m/ может принимать все значения, кроме 0, N, 2N и т. д., таким образом, между соседними главными максимумами находятся N – 1 дополнительных минимумов. Соответственно, дополнительных максимумов N – 2. В нашем случае 4 щели, поэтому наблюдаются по 3 дополнительных минимума и 2 дополнительных максимума. График распределения интенсивности, исходя из приведённых рассуждений, должен был бы выглядеть следующим образом:
Рис. 15
График действительно выглядел бы таким образом, если бы амплитуды колебаний, возбуждаемых каждой из щелей, оставались постоянными.
Однако, ранее было показано, что амплитуда возбуждаемого одной щелью колебания изменяется с изменением угла φ. Был получен такой график распределения интенсивности:
Рис. 16
График на рис. 16 модулирует график с рис. 15, и в итоге получается следующее распределение интенсивности:
Рис. 17
Из графика видно, что в точках, соответствующих минимумам графика от одной щели (синяя пунктирная линия), всегда наблюдается минимум, даже если эта точка совпадает с одним из расчётных главных максимумов. Это происходит потому, что в этих точках каждая из щелей даёт нулевую интенсивность. Такие точки носят название главных минимумов, условие для них было получено ранее (формула (3))
Чем большее число N щелей содержит решётка, тем большее количество минимумов образуется между двумя главными максимумами, соответственно, тем уже и интенсивнее будут эти главные максимумы.
Отличают отражательные и прозрачные дифракционные решетки. У отражательных дифракционных решеток штрихи наносят на зеркальную (обычно металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отраженном свете. У прозрачных дифракционных решеток штрихи наносят на поверхность прозрачной (обычно стеклянной) пластинки, и наблюдение ведется в проходящем свете. Штрихи непрозрачны для света, а промежутки между ними прозрачны и играют роль щелей.
ВЫВОД РАБОЧЕЙ ФОРМУЛЫ
Дифракционный угол j определяет координату x максимумов на экране, расположенном на расстоянии l от решётки. Из рисунка 18 видно,что:
Рис. 18
Так как угол j мал, то можно принять:
tg j @ sin j = 
. (7)
Замена tg j на sin j приводит к ошибке, не превышающей величину погрешности при измерении x. Согласно условию (5) можно написать
(8)
Приравнивая правые части выражений (7) и (8), получим
. (9)
Полученному соотношению подчиняются любые периодические структуры, в том числе и сетки с различными размерами ячеек.
Дифракционная картина от сетки имеет два взаимно перпендикулярных направления расположения дифракционных максимумов, каждое из которых подчиняется соотношению (9). Если ячейки сетки квадратные, то дифракционная картина симметрична (рис. 19).
Рис. 19