Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка о квантах

Классическая электродинамика отказалась работать не только в области фотоэффекта. Она также дала серьёзный сбой, когда её попытались использовать для описания излучения нагретого тела (так называемого теплового излучения).

Суть проблемы состояла в том, что простая и естественная электродинамическая модель теплового излучения приводила к бессмысленному выводу: любое нагретое тело, непрерывно излучая, должно постепенно потерять всю свою энергию и остыть до абсолютного нуля. Как мы прекрасно знаем, ничего подобного не наблюдается.

В ходе решения этой проблемы Макс Планк высказал свою знаменитую гипотезу.

Гипотеза о квантах. Электромагнитная энергия излучается и поглощается не непрерывно, а отдельными неделимыми порциями — квантами. Энергия кванта пропорциональна частоте излучения:

(2)

Cоотношение (2) называется формулой Планка, а коэффициент пропорциональности — постоянной Планка.

Принятие этой гипотезы позволило Планку построить теорию теплового излучения, прекрасно согласующуюся с экспериментом. Располагая известными из опыта спектрами теплового излучения, Планк вычислил значение своей постоянной:

Дж·с. (3)

Успешность гипотезы Планка наводила на мысль, что законы классической физики неприменимы к малым частицам вроде атомов или электронов, а также к явлениям взаимодействия света и вещества. Подтверждением данной мысли как раз и послужило явление фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка говорила о дискретности излучения и поглощения электромагнитных волн, то есть о прерывистом характере взаимодействия света с веществом. При этом Планк считал, что распространение света — это непрерывный процесс, происходящий в полном соответствии с законами классической электродинамики.

Эйнштейн пошёл ещё дальше: он предположил, что свет в принципе обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями — квантами, обладающими энергией .

Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический трюк и не решился опровергнуть электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из особых частиц — фотонов, движущихся в вакууме со скоростью .

Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту , несёт энергию .

Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества (об импульсе фотона речь пойдёт в следующем листке); в таком случае мы говорим о столкновении фотона и частицы. В частности, происходит столкновение фотонов с электронами металла катода.

Поглощение света — это поглощение фотонов, то есть неупругое столкновение фотонов с частицами (атомами, электронами). Поглощаясь при столкновении с электроном, фотон передаёт ему свою энергию. В результате электрон получает кинетическую энергию мгновенно, а не постепенно, и именно этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта есть не что иное, как закон сохранения энергии. На что идёт энергия фотона ? при его неупругом столкновении с электроном? Она расходуется на совершение работы выхода по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии :

(4)

Слагаемое оказывается максимальной кинетической энергией фотоэлектронов. Почему максимальной? Этот вопрос требует небольшого пояснения.

Электроны в металле могут быть свободными и связанными. Свободные электроны «гуляют» по всему металлу, связанные электроны «сидят» внутри своих атомов. Кроме того, электрон может находиться как вблизи поверхности металла, так и в его глубине.

Ясно, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона получится в том случае, когда фотон попадёт на свободный электрон в поверхностном слое металла — тогда для выбивания электрона достаточно одной лишь работы выхода.

Во всех других случаях придётся затрачивать дополнительную энергию — на вырывание связанного электрона из атома или на «протаскивание» глубинного электрона к поверхности.

Эти лишние затраты приведут к тому, что кинетическая энергия вылетевшего электрона окажется меньше.

Замечательное по простоте и физической ясности уравнение (4) содержит в себе всю теорию фотоэффекта. Давайте посмотрим, какое объяснение получают законы фотоэффекта с точки зрения уравнения Эйнштейна.

1. Число выбиваемых электронов пропорционально числу поглощённых фотонов. С увеличением интенсивности света количество фотонов, падающих на катод за секунду, возрастает.

Стало быть, пропорционально возрастает число поглощённых фотонов и, соответственно, число выбитых за секунду электронов.

2. Выразим из формулы (4) кинетическую энергию:

Действительно, кинетическая энергия выбитых электронов линейно растёт с частотой и не зависит от интенсивности света.

Зависимость кинетической энергии от частоты имеет вид уравнения прямой, проходящей через точку . Этим полностью объясняется ход графика на рис. 3.

3. Для того, чтобы начался фотоэффект, энергии фотона должно хватить как минимум на совершение работы выхода: . Наименьшая частота , определяемая равенством

как раз и будет красной границей фотоэффекта. Как видим, красная граница фотоэффекта определяется только работой выхода, т.е. зависит лишь от вещества облучаемой поверхности катода.

Если , то фотоэффекта не будет — сколько бы фотонов за секунду не падало на катод. Следовательно, интенсивность света роли не играет; главное — хватает ли отдельному фотону энергии, чтобы выбить электрон.

Уравнение Эйнштейна (4) даёт возможность экспериментального нахождения постоянной Планка. Для этого надо предварительно определить частоту излучения и работу выхода материала катода, а также измерить кинетическую энергию фотоэлектронов.

В ходе таких опытов было получено значение , в точности совпадающее с (3). Такое совпадение результатов двух независимых экспериментов — на основе спектров теплового излучения и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта — означало, что обнаружены совершенно новые «правила игры», по которым происходит взаимодействие света и вещества. В этой области классическая физика в лице механики Ньютона и электродинамики Максвелла уступает место квантовой физике — теории микромира, построение которой продолжается и сегодня.

Решение задач

Помните 1эВ(электронвольт = 1,6*10^-19Дж

. Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, для натрия составляет 530 нм. Определите работу выхода электронов из натрия.

Дано: CИ

λ_кр = 530 нм 530∙ 10 ^{-9 м}

c = 3∙ 10⁸ м/с

h = 6, 63 ∙ 10³⁴Дж×с

_________________

А_вых-?

 

Решение

Работа выхода в Дж находится по формуле А_вых = hν_кр, А_вых =

А_вых = 6, 6 ∙ 10^-34 ∙ 3 ∙10⁸/ 530 ∙ 10^-9 = 3,73 ∙10^-17 Дж

Выразим работу выхода в эВ

А_вых =А _вых / 1,6 ∙10 ^-19 Дж =2, 34 эВ

 

Ответ: 2, 34 эВ

 

2.Определить наибольшую длину волны света, при которой может проходить фотоэффект, если работа выхода 8,5∙ 10 ^{- 19} Дж.

 

Дано: Решение:

А_вых = 8,5∙ 10 ^{- 19} Дж А_вых = hν_кр, А_вых = ,

c = 3∙ 10⁸ м/с λ_кр = ,

h = 6, 63 ∙ 10³⁴Дж×с λ_кр = 6, 63 ∙ 10³⁴Дж×с 3∙ 10⁸ м/с / 8,5∙ 10 ^{- 19} Дж =

 

λ_кр -? = 2,34∙ 10 ^{-7 м}

Ответ: 2,34∙ 10 ^{-7 м}

 

 

3 Работа выхода из металла равна 4, 28 эВ. Найти красную границу фотоэффекта.

 

Дано: Решение:

А_{вых =} 4,28 эВ А_вых = hν_кр, А_вых = , λ_кр = ,

λ_кр -?

λ_кр =6, 63 ∙ 10^-34Дж×с 3∙ 10⁸ м/с / 4,28 эВ ∙ 1,6 ∙ 10^-19 =

= 4,65∙ 10 ^{-7 м}

Ответ: 4,65∙ 10 ^{-7 м}

4. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вылетающих из калия при его освещении лучами с длиной волны 345 нм. Работа выхода 2,26 эВ.

Дано: Решение:

λ = 345 нм hν = А _вых + Е_к, = А _вых + Е_к

А_вых = 2,26 эВ Е_к = - А _вых,

m=9,1 10 ^{-31 кг Е_к =6, 63 ∙ 10-34}Дж×с 3∙ 10⁸ м/с / 345 ∙10 ^-9м - 2,26 ∙1.6 ∙10 ^{- 19}=

=0,0576 ∙10 ^-17 -3,616∙10 ^-19 =5,76 ∙10 ^-19 -3,616∙10 ^-19 = Е_к -? =2,14∙10 ^-19 Дж

Ответ: 2,14 ∙10 ^-19 Дж

Решите самостоятельно

1. Найти работу выхода для некоторого металла, если красная граница

равна 300 нм.

2. Вычислить длину волны красной границы фотоэффекта для серебра. 19.62.эВ

3. Частота светакрасной границы некоторого металла6 ∙10 ¹⁴ Гц, этот металл облучается светом с ᴠ= 1,1*10¹⁵Гц. Найдите кинетическую энергию фотоэлектронов