Системы счисления
Основные понятия
Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.
Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.
Символы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления.
Системы счисления делятся на
· непозиционные системы счисления;
· позиционные системы счисления.
В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)
В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:
| I – 1 | V – 5 | X – 10 | L – 50 | C – 100 | D – 500 | M – 1000 |
Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30
Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.
При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:
1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).
2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).
3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.
(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)
Пример 1: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 = 1997
Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV
В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.
Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Например, число 333 = 300 + 30 + 3.
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.
Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:
· Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.
Например, записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.
· Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
· Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.
Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.
Позиционные системы счисления
В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.
Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.
Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.
| Основание (количество цифр) | Система счисления | Алфавит (все цифры) |
| десятичная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | |
| двоичная | 0,1 | |
| троичная | 0,1,2 | |
| пятеричная | 0,1,2,3,4 | |
| восьмеричная | 0,1,2,3,4,5,6,7 | |
| одиннадцатеричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A | |
| тринадцатеричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C | |
| шестнадцатеричная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.
Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C,13 – D, 14 – E, 15 – F).
Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.
Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 1016 = 16 палочек.
А цифра 10 — А = 10 палочек.
Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса справа от числа (1001012, 2346, 3В16).
Основные достоинства любой позиционной системы счисления:
· ограниченное количество символов;
· простота выполнения арифметических операций.
"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".
Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827)
В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик Блез Паскаль писал:
"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".
Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:
· десять единиц – это десяток;
· десять десятков – это уже сотня;
· десять сотен – тысяча и т.д.
В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Любое число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Такое представление называется развернутой формой записи числа.
В общем виде любое число х в позиционной системе счисления можно представить в виде:
х = аk • рk + аk-1 • рk-1 + … + а1 • р1 + а0 • р0 + а-1 • р-1 + … + а-n • р-n,
где аk – k я цифра целой части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;
а-n - n я цифра дробной части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;
k + 1 – количество разрядов в целой части числа х;
n – количество разрядов в дробной части числа х.
С учетом этих обозначений запись числа х в любой позиционной системе счисления с основанием р имеет вид:
(аk ak-1... a1 a0 a-1 a-2... a-n) p
Например, число 304710 в развернутой форме будет записано так:
304710=3 •103+0 •102+4 •101+7 •100=3 • 1000+0 • 100+4 • 10+7 • 1=3000+0+40+7=304710
На этом принципе основан перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему. Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.
Пример 1. Перевести число 1111012 в десятичную систему счисления:
(в дальнейшем будет использоваться краткая запись задания: 1111012 = Х10)
1111012 = 1 • 25 + 1 • 24 + 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20 = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 6110;
Ответ: 1111012 = 6110.
Пример 2. 4178 = X10:
4178 = 4 • 82 + 1 • 81 + 7 • 80 = 256 + 8 + 7 = 27110;
Ответ: 4178 = 27110.
Пример 3. 2С8Е16 = Х10:
2С8Е16 = 2 • 163 + 12 • 162 + 8 • 161 + 14 • 160 = 8192 + 3072 + 128 + 14 = 1140610;
Ответ: 2С8Е16 = 1140610.