Разложение вектора по ортам координатных осей.




Векторы. Основные определения

Определение. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если - начало вектора, а - его конец, то вектор обозначается символом (или ).

Вектор (у него начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

 

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

 

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 

Два вектора и называются равными (), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

 

Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

 

 

Линейные операции над векторами

 

Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно находить также по правилу параллелограмма.

 

 

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .

 

В параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью.


Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .

 

 

Из определения следует, что , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

 

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  1. ,
  2. .

 

 

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве дана ось и некоторая точка . Проведем через плоскость, перпендикулярно оси. Она пересечет ось в некоторой точке . Точка называется проекцией точки на ось . Другими словами, проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

 

 


Пусть - произвольный вектор (). Обозначим и проекции на ось начала и конца вектора и рассмотрим вектор .

 

Определение. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось противоположно направлены. Обозначается .

Основные свойства проекций:

 

  1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. .

Проекция вектора на ось положительна(отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

 

  1. ,
  2. .

 

Разложение вектора по ортам координатных осей.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: