Векторы. Основные определения
Определение. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если - начало вектора, а - его конец, то вектор обозначается символом (или ).
Вектор (у него начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается .
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .
Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора и называются равными (), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами
Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно находить также по правилу параллелограмма.
Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .
В параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью.
Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .
Из определения следует, что , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
|
|
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве дана ось и некоторая точка . Проведем через плоскость, перпендикулярно оси. Она пересечет ось в некоторой точке . Точка называется проекцией точки на ось . Другими словами, проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.
Пусть - произвольный вектор (). Обозначим и проекции на ось начала и конца вектора и рассмотрим вектор .
Определение. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось противоположно направлены. Обозначается .
Основные свойства проекций:
- Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. .
Проекция вектора на ось положительна(отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.
- ,
- .
Разложение вектора по ортам координатных осей.