Интегрирования по частям.




Широко применяется метод интегрирования, называемый метод интегрирования по частям.

Пусть функции u и v – две функции аргумента x, имеющие производные. Как известно,

Это равенство означает не что иное, как то, что произведение uv будет первообразной функцией для . Стало быть,

(9)

Но ведь , и потому (9) можно переписать в виде

(10)

Поскольку в состав интеграла уже входит произвольная постоянная, то в нее можно включить и слагаемое C и в результате получим формулу интегрирования по частям

(11)

Эта формула представляет собой тождество, справедливое для любой пары функций u и v. В некоторых случаях (разумеется не всегда) интеграл, стоящий в (11) справа проще интеграла, стоящего слева. Тогда применение формулы имеет смысл.

Всмотримся внимательнее в формулу (11). Мы видим, что множитель u, стоящий в левом интеграле при переходе к правому интегралу заменяется на du, т.е. дифференцируется. Другой же сомножитель dv заменяется на v т.е. интегрируется.

Эта необходимость интегрирования не всего выражения, а одного сомножителя и объясняет термин дифференцирования по частям. Рассуждая абстрактно, можно утверждать, что упрощение интеграла происходит от любой из этих операций.

Однако, в подавляющем большинстве случаев, упрощение происходит именно от дифференцирования множителя u. Таким образом, если в составе подынтегральной функции есть множитель, упрощающийся от дифференцирования, то полезно применять формулу (11), приняв упомянутый множитель за u, а остальное за dv.

ПРИМЕР.

РЕШЕНИЕ. В состав подынтегральной функции входит lnx, производная от которого гораздо проще его самого. Поэтому полагаем

(12)

Но ведь мы хотим воспользоваться формулой (11) и для этого нам нет необходимости привлекать все множество функций (12), а достаточно использовать одну из них. Разумеется, самое простое - взять ту функцию, которая отвечает значению C=0, т.е. положить

И в общем случае, когда применяют интегрирование по частям, то произвольную постоянную в интеграл по dv не вводят.

Имеем на основании формулы (11)

(13)

Так как

, (14)

Рассмотри еще ряд примеров на применение формулы интегрирования по частям.

А) . Полагаем

Отсюда

В) Полагаем

Отсюда

Но,

Значит

Во всех рассмотренных примерах мы следовали общему указанию: выбирать за u множитель, упрощающийся от дифференцирования. Попробуем отступить от этого указания. Пусть .

Попробуем за u принять множитель ex, хотя он и не упрощается от дифференцирования. Тогда

Отсюда

Хотя это равенство верное, но оно бесполезно, так как правый интеграл сложнее левого.

Однако иногда бывают ситуации, что правый интеграл в точности равен левому. Пусть, например

А) . Тогда

Отсюда

Справа получился исходный интеграл I. Поэтому

В)

Тогда

Отсюда (15)

Справа получился интеграл примерно той же сложности, что и исходный. Это часто является указанием на возможность приведения интеграла к самому себе. В нашем случае применим интегрирование по частям к интегралу .

Тогда

Отсюда

(16)

Подставляя это в (15), находим

Откуда

(17)

Заметим, что нами попутно вычислен и интеграл , так как из (16) и (17) вытекает

Таким образом, формула интегрирования по частям применима и когда интегралы совпадают.

то

.

Это и есть значение исходного интеграла.

Замечание. Строго говоря, подставляя в (16), мы должны были написать не (+C), а (-C), но так как C- все равно произвольная постоянная, то безразлично какой знак перед ней ставить.

Полезно запомнить следующие 6 типов интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Для интегралов 1,2,3 следует принимать u за множитель xn. Это приведет к интегралу сходного типа, но уменьшит показатель степени на единицу. После n-кратного применения этого приема мы получим один из табличных интегралов

В интегралах 4,5,6 от дифференцирования упрощается трансцендентный множитель (т.е. lnx,arctgx, arcsinx). Его и следует принять за u.

 

Таблица основных формул интегрирования.

 

Для выработки умения интегрировать необходимо знать следующие формулы:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

13

Замечания:

1. Проверка каждой из формул осуществляется непосредственным дифференцированием.

2. Формула (2) верна при .

3. В формуле (10) a>0.

4. В формулах (11) и (12) подразумевается .

5. Вся таблица выписана в предположении, что независимая переменная обозначена буквой x.

 

 

Непосредственное интегрирование. Примеры.

При интегрировании нам придется пользоваться следующими теоремами, которые мы сейчас сформулируем.

Теорема. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

 

 

Доказательство. Чтобы убедится в справедливости формулы (3), продифференцируем правую часть этого равенства. Но указанная правая часть представляет собой алгебраическую сумму нескольких слагаемых. Поэтому в результате дифференцирования получим

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: