РЕФЕРАТ
по дисциплине «Экономический анализ и управление производством»
Студент гр. МТП21-16-01 ___________________ А.Р. Ханов
Руководитель канд. экон. наук, доц. ___________________ О.А. Александрова
Оценка при защите
____________________
____________________
«___ » ________2017 г.
Уфа
Содержание
С.
1 Основы теории игр. 3
2 Основные определения в теории игр. 4
3 Классификация игр. 5
4 Представление игр. 7
5 Дилемма заключённого. 9
6 Долларовый Аукцион. 11
7 Некоторые примеры теории игр в экономике. 13
8 Практическая часть. 19
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 22
Основы теории игр
На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.
Математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решения зависит от нескольких участников, называется «теорией игр». Вполне аналогичные с математической точки зрения положения возникают в общеизвестных играх (например, в таких, как покер, бридж, шахматы и др.). Область приложения теории игр выходит, конечно, далеко за рамки таких игр и включает, например, математику, экономику, политику, военную стратегию. Однако в терминологии теории игр много заимствований из терминологии общеизвестных игр.
Теория игр предполагает, что субъекты при принятии своих решений должны просчитывать возможные решения других субъектов, поскольку результат зависит от решений всех участников. Поэтому в теории игр предполагается, что все субъекты не только рациональны, но и разумны, в том смысле, что они способны находить не только свои оптимальные решения, но также и оптимальные решения других участников. Применительно к экономике, теория игр изучает функционирование экономических систем в условиях «несовершенного рынка». Игровые модели олигополий и аукционов являются примерами успешного применения игрового подхода в экономике. Решение проблемы ассимметричной информированности участников экономической системы — также важное достижение теории игр. Первое математически строгое определение игры было дано венгерским математиком Джоном фон Нейманом, которого по праву считают одним из величайших математиков 20-го века. В своей работе, опубликованной в далеком 1928 году, он сформулировал игру N лиц с нулевой суммой точно так же, как она формулируется сегодня. В этой же работе Дж. фон Нейман доказал свою знаменитую теорему о существовании решения в смешанных стратегиях для матричных игр (N = 2). Принято считать, что теория игр как самостоятельный раздел экономической теории сформировалась после публикации в 1944 году Дж. фон Нейманом в соавторстве с Оскаром Моргенштерном книги «Теория игр и экономическое поведение».
Основные определения в теории игр
Лица, принимающие решения, называются игроками, а целевая функция – платежной функцией. Под игроками могут подразумеваться отдельные лица или группы лиц (как, например, партнеры по игре в бридж), фирмы, страны и т.д. Выигрыш каждого игрока определяется платежной функцией. Таким образом, игра представляет собой совокупность известных всем игрокам правил, которые определяют, что может делать игрок и каковы последствия, и выигрыши в результате каждого отдельного их действия.
Ход – это момент игры, когда игроки должны произвести выбор одного из возможных вариантов. Партией игры называется некоторая определенная совокупность ходов и выборов. Существенной чертой любой игры является то, что выигрыш каждого игрока зависит обычно не только от сделанного им самим выбора, но и от выбора других игроков.
Каждый игрок должен учитывать эту зависимость от остальных игроков при выборе стратегии. Стратегия – это набор правил, формулируемых до игры, которые определяют выбор варианта в любой из могущих возникнуть ситуаций. Так как понятие стратегии является в теории игр центральным, то эту дисциплину нередко называют «стратегическими играми».
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические.
Классификация игр
Обычно игры классифицируют следующим образом:
– По количеству игроков: игры 1, 2, n игроков;
– По количеству стратегий: конечные и бесконечные игры. Если у всех игроков конечное число стратегий, то такая игра конечная, иначе – игра бесконечная;
– По характеру взаимоотношений между игроками: бескоалиционные и кооперативные игры. Игра называется бескоалиционной, если игроки не заключают между собой никаких соглашений. Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. В кооперативной игре игроки могут заключать соглашения с целью увеличить свои выигрыши.
– По свойствам функций выигрышей: непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то это – игра с нулевой суммой. Игра двух игроков c нулевой суммой называется антагонистической. В такой игре один игрок выигрывает за счет другого. Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой. В играх с ненулевой суммой все игроки в сумме могут получить меньше их суммарного взноса. Например, в лотерее её организаторы всегда в выигрыше, а участники в сумме получают меньше их суммарного взноса;
– По количеству ходов: одноходовые и многоходовые. Среди многоходовых игр выделим позиционные игры, в которых несколько игроков последовательно делают ходы; выигрыши игроков зависят от стратегии выбора ходов (пример – шашки, шахматы, карточные игры, игровые автоматы, динамические экономические системы и т. д.);
– По информированности игроков: игры с совершенной и несовершенной информацией. В игре с совершенной информацией на каждом шаге игрокам известно, какие ходы были сделаны ранее (например, шашки и шахматы). В игре с несовершенной информацией игроки могут не знать, в какой позиции они находятся (некоторые стохастические игры, в частности, карточные игры). К играм с несовершенной информацией сводятся игры с неполной информацией (также известные как байесовские игры). В отличие от игр с несовершенной информацией, где неполная информированность игроков возникает в процессе игры, в играх с неполной информацией неполная информированность некоторых игроков возникает еще до начала игры, как следствие ассимметричной информированности игроков (покупатель меньше знает о качестве товара, чем продавец, фирма точно не знает, какую технологию использует ее конкурент, и т. д.).
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые логико-математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.
Игры в экстенсивной, или расширенной форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке 1 – игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает – выбрать стратегию A или R. Скорее всего, первый игрок выберет U, а второй – A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Рисунок 1 – Представление игр в экстенсивной форме
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Игру, описанную подобным образом, называют игрой в развернутой, или экстенсивной форме, а само описание, как правило, составляют в виде дерева игры, аналогичного дереву решений. Игры в развернутой форме называют также позиционными играми.
Игру в развернутой форме называют игрой с полной информацией, если в ней нельзя делать одновременно несколько ходов, и если участникам известны выборы, сделанные при предшествующих ходах, включая и случайные ходы. Примером игры с полной информацией являются шахматы. Покер представляет собой игру с неполной информацией, так как игрокам неизвестно, какие карты находятся на руках у противника.
Второй способ описания игры состоит в том, что рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока и определяются платежи, соответствующие любой возможной комбинации стратегий всех игроков. Описанная таким образом игра называется игрой в нормальной форме.
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки (рисунок 2).
Элементами этой матрицы являются пары чисел, первое из которых определяет величину выигрыша игрока 1, а второе — игрока 2.
Рисунок 2 – Платежная матрица для игры двух участников
Игрок 1 выбирает одну из m стратегий A1, A2, …, Am. Игрок 2 выбирает одну из n стратегий B1, B2, …, Bn. Пара чисел на пересечении строки и столбца, которые соответствуют стратегиям, избранным игроками, показывает величину выигрыша каждого из них.
Платежная матрица имеет размерность m×n, где m – (конечное) число возможных стратегий игрока 1, а n – (конечное) число возможных стратегий игрока 2. Предполагается, что каждому из игроков известны все элементы платежной матрицы.
Кооперативные игры используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N — количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v: 2N → R — это характеристическая функция.
Дилемма заключённого
Что такое игровая стратегия и доминирующая игровая стратегия лучше всего показать на конкретном примере – простейшей игре под названием «дилемма заключенного», анализ которой и положил начало теории игр.
Дилемма заключенного - это игра между двумя участниками с двумя возможными исходами и одновременными ходами.
Суть игры заключается в следующем. Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Однако иных доказательств их вины у следствия нет. Если оба молчат, их деяние квалифицируется как неоказание помощи следствию, и они приговариваются к 6 месяцам. Если оба свидетельствуют против друг друга, они получают минимальный срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой.
Варианты развития событий приведены на рисунке 3.
| Заключённый Б хранит молчание | Заключённый Б даёт показания | |
| Заключённый А хранит молчание | Оба получают полгода | А получает 10 лет, Б освобождается |
| Заключённый А даёт показания | А освобождается, Б получает 10 лет тюрьмы | Оба получают 2 года тюрьмы |
Рисунок 3 – Дилемма заключённого
Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации собственного срока заключения.
Представим рассуждения одного из заключённых. Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе полгода тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе 10 лет). Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой заключённый приходит к тому же выводу.
Таким образом, доминирующей игровой стратегией для каждого из них становится дача показаний. В этом случае игровое равновесие устанавливается, когда они оба признаются и получат по 2 года наказания. Данное равновесие достигается потому, что стратегия «дать показания» каждого участника является оптимальной при заданной стратегии другого участника. Достигнутое равновесие является равновесием по Нэшу.
Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.
Нетрудно увидеть, что Нэш-равновесие не является наиболее оптимальным для участников. Если бы они оба выбрали стратегию «не признаться», то получили бы только по 1 году. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным. Если бы преступники смогли договориться заранее, то, возможно, они смогли бы достичь Парето-оптимального равновесия. Но даже в случае договоренности каждый из них имеет стимулы отступить от договоренностей и признаться, чтобы избежать наказания полностью. В этом случае эгоистические интересы каждого из участников и недоверие к напарнику заставляют преступников выбрать вариант «признаться». Согласованное поведение участников будет нерациональным с индивидуальной точки зрения каждого из участников.
Выводы Джона Нэша стали революционными. Адам Смит считал, что когда каждый член группы действует эгоистично, преследуя свои собственные интересы, это ведет к эффективному равновесному состоянию этой группы. Этот принцип был назван «невидимая рука рынка». Джон Нэш показал, что когда каждый член группы действует только в своих интересах, это не приводит к достижению максимальных интересов всей группы.
Долларовый Аукцион
В 1971 г. Мартин Шубик (Martin Shubik) предложил игру, которая может служить моделью многих реальных ситуаций. Сущность игры заключается в следующем. Проводится аукцион, на котором предлагается один доллар, с минимальной ставкой в 1 цент. Игра проводится по обычным правилам аукционов, за исключением одного дополнения: платит не только предложивший максимальную сумму и получающий доллар, но и тот, кто платит названную им сумму, но выигрыша не получает.
Многочисленные эксперименты в разных аудиториях показали, что взрослые интеллигентные люди готовы за доллар отдать сумму, в несколько раз большую. Иррациональность такого решения очевидна, тем не менее, если участников десяток человек, игра почти всегда удается.
Игра имеет три критических момента. Первый связан с ее запуском. Легче всего игру удается начать под общее веселое настроение. Но как только сделано два предложения, игра продолжается автоматически. Второй критический момент связан с достижением предложения 50 центов. Теперь нужно предложить более 50 центов, и предлагающему становится ясно, что ведущий аукциона уже выиграл. Но для предлагающего повышение ставки все еще имеет финансовый смысл. Когда игроки перешли границу 50 центов, игра практически всегда бодро продолжается до 99 центов. Третий критический момент достигается, когда кто-то готов заплатить 100 центов за доллар. При этом он, возможно, надеется завершить игру без проигрыша. Но его противник знает, что он потеряет 99 центов, если завершит игру, а если предложит 101 цент, то, возможно, проиграет лишь один цент. Он понимает, что ведет себя нерационально, но обычно игра продолжается.
В большинстве случаев в начальной стадии игры принимает участие большее число игроков, а к концу остается всегда двое. Исследования показали, что при пересечении границы в 100 центов характер игры меняется, и у игроков проявляются сильные эмоции.
Игра идет аналогично и в случае, когда на аукцион предлагается какой-либо предмет. И тогда находятся люди, которые готовы заплатить за него сумму, значительно превышающую его стоимость. Однако прелесть продажи именно доллара состоит в том, что здесь в явном виде предстает иррациональность решений игроков.
Было выяснено, что с некоторого момента у игроков меняется мотивация игры. Если в начале они хотели выиграть доллар, то в конце дело идет о престиже, доминировании и т.п.
Ситуации, соответствующие модели долларового аукциона, встречаются на каждом шагу и в обыденной жизни. Чем дольше мы ждем автобус, тем труднее нам сесть на такси, даже если вначале мы были готовы поехать на такси. Чем дольше мы смотрим плохой фильм, тем вероятнее мы досмотрим его до конца, хотя вероятность того, что в нем еще будет что-то интересное, становится все меньше. Это обстоятельство используют на телеканалах, включая больше рекламы в конце фильма, поскольку вероятность того, что зрители переключатся на другой канал, будет невелика. По этой же логике проходят забастовки. Нередко ущерб от забастовки для обеих сторон много больше, чем, если бы сразу удовлетворить требования бастующих. В этих случаях опытный посредник может вывести ситуацию из тупика, предложив обсудить сначала другой вопрос, например о новой спецодежде. Этот вопрос решается быстро, после чего противоборствующие стороны могут выйти из противостояния без потери лица.