Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей f(t) (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).
Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции f(t). Наиболее часто используются следующие функции:
линейная — f(t) — b0+b1t,
полиномиальная — f(t) – b0+b1t+b2t2+...+bnt n;
экспоненциальная — f(t) = ebo+b1t;
логистическая — f(t)= ____а_____
1 + be-ct
Гомперца — logc f(t) = a – b t, где 0 < r < 1.
Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из п точек можно подобрать полином (п -1)-й степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной — нулевой — суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.
Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t — как объясняющая:
yt= f(t)+ t,
t- возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным..
Напомним, что согласно методу наименьших квадратов параметры прямой = f(t) = b0 + b1 t находится из системы нормальных уравнений, в которой в качестве хi, берем t:
bon+b1 = t
bo +b1 2 = t t
Учитывая,что значения переменной t=1,2,…n образуют натуральный ряд чисел от 1 до n, суммы , 2 можно выразить через число членов ряда n по известным в математике формулам:
= n(n+1)/2; 2 =n(n+1)(2n+1)/6
Рассмотрим пример №3.
При применении метода наименьших квадратов для оценки параметров экспоненциальной, логистической функций или функции Гомперца возникают сложности с решением получаемой системы нормальных уравнений, поэтому предварительно, до получения соответствующей системы, прибегают к некоторым преобразованиям этих функций (например, логарифмированию и др.)
Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов рада к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.
Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда yt около своего среднего (сглаженного) значения а характеризуется дисперсией
2, то разброс средней из т членов временного ряда (у1 + у2 +…+ Ут)/m около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной
2 /т. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.