Пусть и – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-
зать, что ряд .
Если , то ряд называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если
а) | ; | б) | ; | в) | ; |
Решение. а) Так как при достаточно больших ~ , а
~ , то ~ . Выберем для
сравнения с данным гармонический ряд , т.е. .
(см. [5]).
Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.
б) При достаточно больших ~ , ~ , поэтому – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:
(см. [5]).
Ряд сходится (ряд Дирихле с ), поэтому данный ряд также сходится.
в) , поэтому бесконечно малую можно
заменить на эквивалентную ей при величину ( ~ при – см. [5]).
Тогда – общий член ряда для сравнения.
.
Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится (ряд Дирихле с ), то данный ряд расходится.
Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости или расходимости данного ряда, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.
Признак Даламбера
Пусть – знакоположительный ряд. Если существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Если , то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. В этом случае необходимо дополнительное исследование, например, с помощью признаков сравнения.
В примерах 5 а), б) с помощью предельного признака сравнения было установлено, что ряд расходится, а ряд сходится. Посмотрим, как работает применительно к этим рядам признак Даламбера:
, | ; |
(см. [5]).
Таким образом, в каждом из этих случаев признак Даламбера не приводит к определенному ответу: при ряд может быть и сходящимся, и расходящимся.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака
Даламбера, если
а) | ; | б) | ; | в) | ; | |||
г) | ; | д) | . | |||||
Решение. а) Так как , то
Это означает, что ряд расходится.
б) Символ (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числа n:
. Например, , ,
,
,
,
.
Так как , то для любого
и поэтому ряд сходится. Отсюда можно сделать весьма важный вывод: так как при любом ряд сходится, то по необходимому признаку сходимости .
в) Так как , то
(см. [5]), т. е. ряд сходится.
г) Для того, чтобы записать , заменим в на . Тогда к
произведению добавится еще один сомножитель, равный
, а к произведению – еще два сомножителя:
, поэтому
.
Значит, данный ряд сходится.
д) Заметим, что при , поэтому при вычислении предела можно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменив на эквивалентную бесконечно малую величину :
.
Следовательно, ряд сходится.
Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующий вывод: признак Даламбера непременно дает ответ на вопрос о сходимости рядов, общий член которых содержит факториал или показательную функцию .