Предельный признак сравнения




Пусть и – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-

зать, что ряд .

 

Если , то ряд называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

 

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

 

а) ; б) ; в) ;

 

Решение. а) Так как при достаточно больших ~ , а

~ , то ~ . Выберем для

сравнения с данным гармонический ряд , т.е. .

(см. [5]).

 

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

 

б) При достаточно больших ~ , ~ , поэтому – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

(см. [5]).

 

Ряд сходится (ряд Дирихле с ), поэтому данный ряд также сходится.

 

в) , поэтому бесконечно малую можно

заменить на эквивалентную ей при величину ( ~ при – см. [5]).

Тогда – общий член ряда для сравнения.

 

.

 

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится (ряд Дирихле с ), то данный ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости или расходимости данного ряда, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.

 

Признак Даламбера

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. В этом случае необходимо дополнительное исследование, например, с помощью признаков сравнения.

В примерах 5 а), б) с помощью предельного признака сравнения было установлено, что ряд расходится, а ряд сходится. Посмотрим, как работает применительно к этим рядам признак Даламбера:

 

, ;

 

 

 

 

(см. [5]).

 

Таким образом, в каждом из этих случаев признак Даламбера не приводит к определенному ответу: при ряд может быть и сходящимся, и расходящимся.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака

Даламбера, если

 

а) ; б) ; в) ;    
г) ; д) .
                 

Решение. а) Так как , то

 

 

Это означает, что ряд расходится.

б) Символ (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числа n:

. Например, , ,

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Так как , то для любого

и поэтому ряд сходится. Отсюда можно сделать весьма важный вывод: так как при любом ряд сходится, то по необходимому признаку сходимости .

 

в) Так как , то

 

(см. [5]), т. е. ряд сходится.

 

г) Для того, чтобы записать , заменим в на . Тогда к

произведению добавится еще один сомножитель, равный

, а к произведению – еще два сомножителя:

, поэтому

 

 

.

Значит, данный ряд сходится.

 

д) Заметим, что при , поэтому при вычислении предела можно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменив на эквивалентную бесконечно малую величину :

.

 

Следовательно, ряд сходится.

 

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующий вывод: признак Даламбера непременно дает ответ на вопрос о сходимости рядов, общий член которых содержит факториал или показательную функцию .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: