Пусть – знакоположительный ряд. Если существует ,
то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Если ряд может как сходиться, так и расходиться. Выяснить это можно с помощью дополнительного исследования, например, используя признаки сравнения.
При применении радикального признака Коши бывает полезно знать, что
. (3)
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши
а) | ; | б) | ; | в) | ; |
г) | ; | д) | . |
Решение. а) Так как и ,
(см. равенство (3)), то и поэтому ряд сходится.
б) В этом случае . Так как
(см. [5]), а , то
Это означает, что данный ряд сходится.
в) В этом случае удобно применить признак Коши, т. к. , а предел этого выражения находится просто:
.
Значит, ряд сходится.
г) Заметим, что при , а .
Кроме того, т. к. , то , поэтому
и поэтому ряд расходится.
д) Так как и
(см. [5]), то .
Следовательно, ряд расходится.
Признак Даламбера и радикальный признак Коши основаны, по существу, только на свойствах геометрической прогрессии. Поэтому при исследовании медленно сходящихся или медленно расходящихся рядов (прогрессии в их число не входят) эти признаки оказываются нечувствительными . В таких случаях, кроме признаков сравнения, можно использовать интегральный признак Коши. Этот признак четко проводит различия между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого.
Интегральный признак Коши
Пусть члены знакоположительного ряда не возрастают:
. Пусть, кроме того, – непрерывная,
невозрастающая функция, определенная для всех , такая, что
. Тогда ряд и несобст-
венный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши, если
а) | ; | б) | ; | в) | ; | г) | . |
Решение. а) – ряд Дирихле с . Ранее было отмечено, что этот ряд расходится. Докажем это. Рассмотрим функцию . Она не-
прерывна и убывает при всех . Кроме того, , поэтому удовлетворяет условиям теоремы.
Вычислим .
Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.
б) – ряд Дирихле с . Как было отмечено, этот ряд сходится.
Чтобы убедиться в этом, применим интегральный признак Коши: ,
; .
Несобственный интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.
в) Рассмотрим при функцию . Ее производная
при всех . Следовательно, убывает
и .
.
Несобственный интеграл сходится, а потому сходится и данный ряд.
г) Функция непрерывна и убывает при всех . Несобственный интеграл
,
т. е. расходится, значит, ряд тоже расходится.
Знакочередующиеся ряды
Определение. Ряды, члены которых имеют разные знаки, называются знакопеременными. Если члены ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки, то ряд называется знакочередующимся.
Знакочередующиеся ряды – частный случай рядов знакопеременных.
Если , то – знакочередующийся ряд. Например, ряды
и
знакопеременные, а ряды ,
,
и – знакочередующиеся.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.
Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:
1) ;
2) .
Тогда ряд сходится, и его сумма .
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд , если
а) | ; | б) | . |
Решение. а) Ряд – знакочередующийся, . Проверим условия признака Лейбница:
1) ;
2) (см. [5]).
Делаем вывод, что ряд сходится.
б) Ряд – также знакочередующийся.
Он сходится, т. к. удовлетворяет условиям признака Лейбница:
и 1) ; 2) ,
потому что знаменатель этой дроби при растет гораздо быстрее числителя.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.