Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)




С помощью коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица

,

над строками которой можно произвести следующие элементарные преобразования. Разрешается изменить порядок строк; прибавлять к элементам произвольной строки элементы другой строки, умноженное на любое отличное от нуля число. При этом нужно стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду, когда все элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Из полученной расширенной матрицы решение находится непосредственно:

.

т.е. и т.д.

@ Задача 2. Решить систему уравнений: .

Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду:

Þ Þ .

После этого нетрудно найти решения:

14x3 =14: x3 = 1;3x2 – 2x3 =2; x2 = 0;

x1 + 2x2 + 3x3 = 2; x 1 =1.

 

§ 2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая

m уравнений и n неизвестных

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

.

Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Ответ на совместность системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение.

Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.

@ Задача 3. Найти решение системы

.

Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:

.

Обозначив x3 = с, получим решение (2 – с, 1, с).

 

§ 2.3. Система линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b 1 = b 2 = ¼ = b n = 0 называется системой линейных однородных уравнений.

Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при D = 0.

@ Задача 3. Найти решение системы .

Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему

, т.е. находим x1 и x2 через x3 = с. После подстановки x3 = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x1 = 2x3 = 2с; x2 = – x3 = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид ( 2 c, – c, c).

 

Тесты по теме №2

 

1. Решить систему уравнений:

R

£

£

2. Решить систему уравнений:

 

R

£

£

3. Решить систему:

R y = любое число, x = 5 + 2y.

£ y = любое число, x = 3 - 2y.

£ y = любое число, x = 1 + 3y.

 

4. Решить систему уравнений:

 

R

£

£

5. Решить систему:

 

£ x = 12, у = 14, z = 2.

R x = -22, у = 14, z = 2.

£ x = 11, у = 12, z = 5.

£ x = 16, у = 10, z = 4.

 

6. Решить систему уравнений:

 

R 4; 2; 1.

£ 1; 6; 0.

£ -3; 2; -1.

 

7. Решить систему двух уравнений:

 

£ x=-1; y = 1.

£ x=2; y = 4.

R x=3; y = -1.

 

8. Решить систему уравнений:

 

£ 1; 1; 3.

£ 4; -2; 0.

R 3; 1; 2.

 

9. Решить систему уравнений:

 

R 1; -2; 3.

£ 2; 3; 4.

£ -1; -2; 3.

 

10. Решить систему:

 

R -1; 3; 1.

£ 2; 1; -1.

£ 3; 0; 2.

 

 


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.

 

Литература

1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2008.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: