Геометрический метод сложения сил

Теорема. Система сходящихся сил на плоскости эквивалентна равнодействующей, приложенной в точке схода и равной геометрической сумме сил.

Доказательство:

Пусть { , , , … } система сходящихся сил, а точка О – точка схода (рис. 2.10). Пользуясь аксиомами статики, приведем систему сил к точке схода, и заменим систему сил { , } <=> , то есть получим { , , , … } эк­вивалентную { , , , … }. Затем заменим { , } <=> и т. д., в итоге получим одну силу, приложенную в точке О, то есть { , , , … } <=> .

 

2. Что называется проекцией силы на ось? В каком случае проекция силы на ось равна О?

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси.

проекции силы на параллельные оси одного направления равны между собой; проекция силы на ось, перпендикулярную силе, равна нулю.
F_x= Fcosα;

P_x= Pcosβ= P⋅ cos90^o=0;

R_x=Rcosγ = -R⋅ cos(180^o-γ).

3. Как найти силовое значение и направление равнодействующей системы сил, если заданы проекции составляющих сил на две взаимноперпендикулярные оси

Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора.

Проекция вектора силы на ось равна произведению вектора на косинус прилежащего к оси угла.

Fx = Fcos α

 

Fy = Fcos β

Проекция является положительной, если направление вектора совпадает с положительным направлением оси.

Проекция является отрицательной, если направление вектора не совпадает с положительным направлением оси.

Пусть { , , , … } система сходящихся сил на плоскости имеет равно­действующую . Обозначим через и проекции этой равнодействующей на оси системы координат XOY, а через , ; , ;... , ; проекции сил , , , … на те же оси. Из математики известно, что проекция суммы век­торов на какую – либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Тогда:

Модуль равнодействующей равен:

 

4. Сформулируйте аналитическое условие равновесия плоской системы сходя­щихся сил.

Аналитическое условие равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

 

 

5. Определение равнодействующей аналитическим способом

Для заданной системы сходящихся сил определить проекции равнодействующей на оси Х и У: F_Σх и F_Σу.

Определяем проекции всех сил системы на ось Х:

F_1х= F₁*cos45= 20*0,707107=14,14214 кН

F_2х= F₂*cos0= 30*1=30 кН

F_3х= - F₃*cos60= -42*0,5= - 21 кН

Определяем проекцию равнодействующей на ось Х:

F_Σх = F_1х+ F_2х+ F_3х= 14,14214+30-21=23,14214 кН

 

Определяем проекции всех сил системы на ось Y:

F_1y= F₁*cos45= 20*0,707107=14,14214 кН

F_2y= F₂*cos90= 30*0=0 кН

F_3y= - F₃*cos30= -42*0,866025= - 36.37305 кН

Определяем проекцию равнодействующей на ось Y:

F_Σy = F_1y+ F_2y+ F_3y= 14,14214+0-36,37305= -22,23091 кН

В результате изучения темы студент должен:
иметь представление о теореме равновесия трех направленных сил; приведении сил к одной точке;
знать условия равновесия системы сил, методы решения задач на равновесие плоской системы;
уметь проецировать силы на оси, определять равнодействующую аналитическим способом.

Тема 1.3. Пара сил

Система пар сил эквивалентна одной паре (равнодействующей) и стремится при­дать телу вращательное движение. Равновесие тела будет иметь место в случае равен­ства нулю момента равнодействующей пары. Аналитическим условием равновесия является равенство нулю алгебраической суммы моментов пар системы. Следует об­ратить особое внимание на определение момента силы относительно точки. Необхо­димо помнить, что момент силы относительно точки равен нулю лишь в случае, если точка лежит на линии действия силы.

Вопросы для самоконтроля
1. Что такое пара сил?

Парой сил называются две равные и параллельные силы, не лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны. Пара сил имеет важное значение в практике. Так, водитель автомобиля, передавая руками усилия на рулевое колесо, использует пару сил.

2. Что такое момент пары сил, плечо пары сил?

 

Пара сил оказывает вращающее действие, которое может быть оценено моментом пары.

Моментом пары называется вектор с такими признаками:

• он перпендикулярен плоскости пары;
• направлен в ту сторону, откуда вращение, которое осуществляет пара, видно против часовой стрелки;
• его модуль равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары с учетом знака

 

M(F₁,F₂) = F₁h = F₂h

 

где h – плечо пары - расстояние между линиями действия сил пары, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из произвольной точки линии действия одной из сил пары на линию действия второй силы.

Момент пары считается положительным, если силы пары стремятся повернуть плоскость, в которой они расположены, против хода часовой стрелки (рисунки 1.1, 1.2 – моменты этих пар сил положительны).

Момент пары сил может быть определен как векторная величина:

M(F₁,F₂) = AB⊗F₂ = BA⊗F₁

 

т.е. вектор M(F₁,F₂) всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположена пара сил, и его направление определяется правилом векторного произведения

Поскольку действие пары сил оценивается величиной и направлением вращающего момента, то на плоскости пару сил изображают в любом месте твердого тела, задавая величину и направление вращающего действия (см. на рисунке 1.4 изображение пар сил M₁ и M₂).

3. Сформулируйте условие равновесия системы пар сил.

 

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
В результате изучения темы студент должен:
иметь представление о вращающем действии пары сил на тело и ее характеристиках; о свойствах пары сил; моменте пары сил;
знать условия равновесия пары сил.
Тема 1.4. Плоская система произвольно расположенных сил
Эта система эквивалентна одной силе (называемой главным вектором) и самой паре (момент, который называют главным моментом) и стремится придать телу в общем случае прямолинейное и вращательное движение одновременно. Изученные ранее системы сходящихся сил и система пар — частные случаи произвольной систе­мы сил. Равновесие тела будет иметь место в случае равенства нулю и главного век­тора, и главного момента системы. Аналитическими условиями равновесия является равенство нулю алгебраической суммы проекций сил системы на оси Х, У, и равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой точки. Следует научиться ре­шать задачи на равновесие тел, в том числе на определение опорных реакций балок и сил, нагружающих стержни, обратив особое внимание на рациональный выбор направления координатных осей и положения центра моментов.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое момент силы относительно точки? Как берется знак момента силы относительно точки? Что называется плечом силы?

 

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы. Относительно точки (в механике) - кратчайшее расстояние от данной точки (центра) до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы.
2. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

Если сила и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

 

3. Что такое главный вектор и главный момент плоской системы сил?

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F ₁ + F ₂ +... + F _n = F _i.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L _O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L _O = M _O(F ₁) + M _O(F ₂) +... + M _O(F _n) = M _O(F _i).

 

4. Сформулируйте теорему Вариньона.

 

согласно теореме момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

 

5. Сформулируйте аналитическое условие равновесия плоской системы произ­вольно расположенных сил.

для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условие равновесия упрощенно запишем в виде равенств:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣM = 0.

6. Укажите три вида уравнения равновесия плоской системы произвольно рас­положенных сил.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

· ΣX = 0; ΣMx(Fi) = 0;

· ΣY = 0; ΣMy(Fi) = 0;

· ΣZ = 0; ΣMz(Fi) = 0.

7. Укажите, как рационально выбрать направления осей координат и центр мо­ментов.

В качестве центра моментов рекомендуется выбрать точку, где пересекаются две неизвестные силы; уравнение моментов относительно этой точки будут содержать только одну неизвестную. Направление координат осей x и y следует выбрать так чтобы оси были перпендикулярны некоторым неизвестным силам.
8. Какие нагрузки называются сосредоточенными и распределенными?

Сила не может быть приложена к точке, поскольку точка - безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы называют сосредоточенными.

часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными.

9. Что такое интенсивность равномерно распределенной нагрузки?

Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной
10. Как найти числовое значение, направление и точку приложения равнодей­ствующей равномерно распределенной нагрузки?

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql

11. Какие системы называются статически определимыми?

Статически определимой системой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены с применением лишь уравнений равновесия.
12. Что называется силой трения?

Силами трения называют силы, возникающие при соприкосновении поверх-ностей двух тел или частей одного тела и препятствующие их взаимному пере-мещению. Они приложены к телам (или к их частям) вдоль поверхности сопри-косновения и всегда направлены в сторону, противоположную относительной скорости движения.

13. Перечислите основные законы трения скольжения.

Й закон Кулона

Cила трения не зависит от величины площади трущихся поверхностей.

Первый закон можно объяснить с помощью следующих умозаключений. Если площадь трущихся поверхностей увеличится, то увеличится и количество сцепляющихся неровностей, но уменьшится давление на опорную поверхность, которое обратно пропорционально площади контакта тел. Поэтому сопротивление относительному перемещению останется прежним.

Й закон Кулона

Максимальная сила трения прямо пропорциональна нормальной составляющей внешних сил, действующих на поверхности тела. Второй закон Кулона говорит о том, что если увеличится нормальная составляющая внешних сил, действующих на поверхности тела (иначе говоря, увеличится сила нормального давления или реакции), то во столько же раз возрастет максимальная сила трения.

Й закон Кулона

Сила трения зависит от материала тел, состояния трущихся поверхностей и рода смазки.

Согласно третьему закону трения скольжения, коэффициент трения скольжения зависит от материалов трущихся тел, качества обработки их поверхности (степени шероховатости), рода и температуры смазки. В зависимости от наличия между сопрягаемыми поверхностями слоя смазки трение подразделяется на два вида: трение без смазочного материала (сухое трение) и трение в условиях смазки.

14. Что такое угол трения, конус трения?

Рассмотрим твердое тело на шероховатой поверхности (рисунок 2.2), находящееся под действием активных сил в предельном состоянии равновесия, т.е. когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции.

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол (R^max). Этот наибольший угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции и направлением нормальной реакции, называется углом трения φ:

 

tgφ = F_тр^max/N = fN/N = f.

 

 

Рисунок 2.2

Конус трения – поверхность, образованная линией действия максимальной реакции опорной поверхности при движении тела в различных направлениях

 

15. Каковы особенности трения качения?

В большинстве случаев величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения при прочих равных условиях, и потому качение является распространенным видом движения в технике. Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения.

16. Определение опорных реакций балочных систем

В машинах и конструкциях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками или балочными системами. Балки предназначены, в основном, для восприятия поперечных нагрузок, а балочные системы имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Опоры балок могут быть разделены на три основных типа: шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, жесткая заделка. Рассмотрим правило для определения направления реакций связей на них.

Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Реакция такой связи будет направлена перпендикулярно опорной плоскости и неизвестна только по модулю.Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот вокруг оси и не допускает никаких линейных перемещений. Реакция такой опоры будет направлена перпендикулярно оси шарнира; модуль и ее направление заранее неизвестны (два неизвестных). В этих случаях при решении задач такую реакцию разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие Xв и Ув, неизвестные по модулю, но известные по направлению. Жесткая заделка (защемление) показана на рис. 5, опора С. Она не допускает ни линейных перемещений, ни поворотов защемленного конца балки. Жесткую заделку заменяют реактивной силой R_c, неизвестной по модулю и направлению и поэтому разлагаемую на две составляющие Х_с и У_с и реактивным моментом т (три неизвестных).

Для заданных балочных систем:

1.Показать реакции, возникающие в опорах А и В под действием внешних сил;

Записать уравнения равновесия для определения балочных опор;

2. Как производится проверка правильности решения?

1.

2. ΣX = 0; ΣY = 0; ΣM = 0.

2. Решение по схеме а):
3. ΣM_А = F₁*sin45⁰*2*sin45⁰-m+F₂*4-R_B*5=0
4. R_B= (F₁*sin45⁰*2*sin45⁰-m+F₂*4)/5 = (10*0,71*2*0,71-10+15*4)/5=12 кН
5. ΣM_В = F₁*sin45⁰*(2*sin45⁰+5)-m+F₂*1-R_А*5=0
6. R_А= (F₁*sin45⁰*(2*sin45⁰+5)-m+F₂*1)/5 = (7,1*6,4-10+15)/5=10,1 кН
7. Проверка:
8. ΣY = R_А- F₁*sin45⁰-F₂+ R_B=10,1-7,1-15+12=0
10. Решение по схеме б):
11. ΣX = F₁*cos45⁰- R_х = 0
12. R_х = F₁*cos45⁰ =10*0,71=7,1 кН
13. ΣY = F₁*sin45⁰+q*3- R_y = 0
14. R_y = F₁*sin45⁰+q*3=10*0,71+10*3=37,1 кН
15. R = √R_х² +R_y² =√7,1² +37,1²=37,7 кН
16. ΣM = F₁*sin45⁰*2*sin45⁰+ q*3*5,5+m-М= 0
17. М= F₁*sin45⁰*2*sin45⁰+ q*3*5,5+m=10*0,71*2*0,71+10*3*5,5+10=185 кНм
18. Проверка, как правило, не производится.
20. Решение по схеме в):
21. ΣM_А = F₁*2+m+F₂*5-R_B*7=0
22. R_B= (F₁*2+m+F₂*5)/7 = (15*2+30+20*5)/7=22,9 кН
23. ΣM_В = F₁*5-m+F₂*2-R_А*7=0
24. R_А= (F₁*5-m+F₂*2)/7 = (15*5-30+20*2)/7=12,1 кН
25. Проверка:
26. ΣY = R_А- F₁ -F₂+ R_B=12,1-15-20+22,9=0

 

В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о главном векторе и главном моменте сил; частых случаях приведения силы и системы сил к данному центру; трении и условии самоторможения;
знать определение момента силы относительно точки, виды балочных опор; условия равновесия плоской системы сил; классификацию нагрузок;
уметь определять опорные реакции балочных систем.

 

Тема 1.5. Пространственная система сил
Как плоские, пространственные системы подразделяют на системы сходящихся или произвольно расположенных сил. Многоугольник, построенный на сходящихся силах системы, оказывается пространственным, что делает невозможным примене­ние графического и графоаналитического методов решения. Аналитический метод решения аналогичен изложенному для плоских систем с той лишь разницей, что силы проецируются на три (а не на две) взаимно перпендикулярные оси, а моменты сил определяются относительно этих осей (а не точек). Необходимо помнить, что момент силы относительно оси равен нулю в том случае, когда сила и ось лежат в одной плоскости (т.е. линия действия силы или параллельна оси, или пересекает ее).

^ Вопросы для самоконтроля

1. Напишите уравнения равновесия для пространственной системы сходящихся сил.

Равнодействующая R пространственной системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия слагаемых сил и является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, т. е.

 

R= Σ F_k (1)

 

В отличие от соответствующей плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т.е. он представляет собой ломаную пространственную линию.

 

Проекции равнодействующей силы R на оси декартовых координат х, у, z равны суммам проекций слагаемых сил па соответствующие оси, т. е.

 

R_x= Σ F_kx, R_y= Σ F_ky, R_z= Σ F_kz (2)

 

Модуль равнодействующей R равен

направляющие косинусы даются формулами:

 

cos(R,^ i) = R_x / R, cos(R,^ j) = R_y / R, cos(R,^ k) = R_z / R (4)

 

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю: R=0, т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид

Σ F_kx =0, Σ F_ky =0, Σ F_kz =0

2. Что такое момент силы относительно оси? В каких случаях момент силы отно­сительно оси равен нулю?

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

 

M_z(F) = M_o(F_П) = ±hF_П,

где F_П – вектор проекции силы F на плоскость П, перпендикулярную к оси Oz, точка O – точка пересечения оси Oz с плоскостью П.

 

Свойства момента относительно оси:

1) момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;

2) момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

 

3. Напишите уравнения равновесия для произвольной пространственной систе­мы сил.

равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

∑x_i =0, ∑M_ix=0; ∑y_{i =0}, ∑M_iy=0; ∑z_i =0, ∑M_iz=0.

 

^ В результате изучения темы студент должен:

иметь представление о параллелепипеде сил, приведении пространственной системы сил к главному вектору и к главному моменту;

знать определение моментов относительно оси, условия равновесия пространственной системы сил.