Корректировки решения задач симплекс-методом





Задача 11.

Фермер выращивает картофель, капусту и морковь. Ресурсы фермерского хозяйства :

пашня – 85 га;

трудовые ресурсы – 1140 чел. дней;

минеральные удобрения – 2600 кг действующего вещества (кг д.в.).

Расход ресурсов на единицу площади (1 га) и эффективность выращивания культур представлены в таблице.

Таблица 61 – Расход ресурсов на 1 га и прибыль с единицы площади

Показатели Культуры
картофель капуста морковь
Расход на 1 га: пашни, га      
труда, чел. дней
удобрений, кг д.в.
Прибыль на 1 га, д.ед.

 

Площадь картофеля может находиться в пределах 40 – 70 га. В свою очередь, площадь капусты не может превышать 50 га, а моркови – 25 га.

Рассчитать оптимальную структуру посевных площадей, которая позволит получить максимум прибыли.

Введем неизвестные:

X1 – площадь картофеля, га

X2 – площадь капусты, га

X3 – площадь моркови, га.

Тогда экономико-математическая модель задачи включает 7 ограничений.

 

1X1 + 1X2 + 1X3 ≤ 85

10X1 + 15X2 + 20X3 ≤ 1140

30X1 + 25X2 + 15X3 ≤ 2600

1X1 ≥ 40

1X1 ≤ 70

1X2 ≤ 50

1X3 ≤ 25

Целевая функция – максимум прибыли со всей площади:

Fmax = 12X1 + 10X2 + 5X3

Исходная симплексная таблица представлена ниже.

 

Таблица 62 – Исходная симплексная таблица задачи 11

БП СЧ НБП
X1 X2 X3
Y1
Y2
Y3
Y4 -40 -1
Y5
Y6
Y7
Fmax -12 -10 -5

 

 


 

В результате нескольких переходов получен оптимальный план.

 

Таблица 63 – Оптимальный план задачи 11

БП СЧ НБП
Y5 Y1 X3
X2 -1
Y2 -15
Y3 -5 -25 -10
X1
Y5
Y6 -1 -1
Y7
Fmax

 

Согласно оптимального плана фермеру целесообразно занять картофелем 70 га, а под капусту отвести 15 га. Это даст возможность получить 990 денежных единиц прибыли. Земельные ресурсы в этом случае будут использованы полностью. Напротив, трудовые ресурсы и минеральные удобрения дефицитными не являются. Остаток трудовых ресурсов составит 215 чел. дней, а минеральных удобрений – 125 кг.

Из оптимального плана видно, что фермеру нецелесообразно выращивать морковь. Однако предположим, что площадь данной культуры должна составить 10 га, т.е. необходимо выполнить корректировку оптимального решения по основной небазисной переменной (это первый вид корректировки).

Первоначально следует определить максимально возможную величину корректировки. С этой целью необходимо рассчитать все положительные отношения коэффициентов столбца СЧ на соответствующие коэффициенты столбца X3 (X3 – это площадь моркови). Из полученных отношений необходимо выбрать минимальное. Таким образом,

Поскольку, максимально возможная величина корректировки превышает желаемую величину (⌂X3 = 10), то оптимальный план может быть изменен в нужном направлении с помощью несложных вычислений. Общая формула корректировки имеет вид:

 


 

Xjk (Yik)- значения базисных основных (дополнительных переменных после корректировки;

Xj ( Yi) - значения тех же переменных до корректировки;

aij - коэффициенты столбца, который используется для корректировки;

⌂Xj (⌂Yj )- величина корректировки по основной (дополнительной переменной).

Используя вышеприведенную формулу, получим новое решение:

X2k=15 - 1∙10 = 5

Y2k=215 - 5∙10 = 165

Y3k=125 – (-10)∙10 = 225

X1k=70 - 0∙10 = 70

Y4k=30 – 0∙10 = 30

Y6k=35 – (-1)∙10 = 45

Y7k=25 - 1∙10 = 15

Fmaxk=990 - 5∙10 = 940

А также нужно помнить, что X3k=10.

Пусть необходимо скорректировать оптимальный план и увеличить площадь моркови до 20 га (это превышает максимально возможную величину). Тогда, применив соответствующую формулу, получим, что X3k=15 - 1∙20 =- 5. Как известно, площадь не может быть отрицательной и, следовательно, такая корректировка не имеет смысла.

Корректировка оптимального решения по дополнительным небазисным переменным – второй вид корректировки.

Мы знаем, что дополнительные переменные вводятся по каждому ограничению. В частности, переменная Y1 соответствует ограничению по использованию пашни. В оптимальном плане переменная Y1 является небазисной. Это означает, что вся площадь пашни в количестве 85 га была использована полностью.

Предположим, что нам необходимо выполнить корректировку по дополнительной переменной Y1.Здесь возможны 2 варианта: когда площадь пашни уменьшается и когда она увеличивается.

Рассмотрим первый вариант. Допустим, что площадь пашни в фермерском хозяйстве сокращается на 5 га, т.е. должна составить 80 га. Определим максимально возможную величину корректировки. Для этого находим все положительные отношения коэффициентов столбца СЧ на соответствующие коэффициенты столбца Y1. В нашем случае только одно такое отношение (15:1 = 15). Следовательно, максимальная величина корректировки по столбцу Y1 составит 15. При наличии нескольких положительных отношений необходимо выбрать минимальное. Учитывая, что требуемая величина корректировки (⌂Y1 = 5) не превышает максимально возможную (⌂Y1 = 15), то оптимальный план может быть скорректирован. С помощью известной формулы находим новое решение:

X2k=15 - 1∙5 = 10

Y2k=215 – (-15)∙5 = 290

Y3k=125 – (-25)∙5 = 250

X1k=70 - 0∙5 = 70

Y4k=30 – 0∙5 = 30

Y6k=35 – (-1)∙5 = 40

Y7k=25 - 0∙5 = 25

Fmaxk=990 - 10∙5 = 940

Теперь рассмотрим обратную ситуацию: предположим, что площадь фермерского хозяйства должна увеличиться на 10 га (⌂Y1= -10 ). Определим максимально возможную величину корректировки. Для этого необходимо выбрать отрицательные отношения коэффициентов столбца СЧ на соответствующие коэффициенты столбца Y1 . В результате имеем:

 

или {-14,33; -5; -35}.

 

Из полученных отношений выбираем минимальное по модулю (-5), которое и является максимально возможной величиной корректировки. Однако, необходимая величина корректировки по модулю (|-10| = 10) превышает модуль максимально возможной величины (|-5| = 5). Следовательно, в этом случае корректировка не возможна.

Предположим, что площадь пашни возрастает на 5 га. В этом случае после проведения корректировки получим новый план:

X2k=15 - 1∙(-5) = 20

Y2k=215 – (-15)∙(-5) = 140

Y3k=125 – (-25)∙(-5) = 0

X1k=70 - 0∙(-5) = 70

Y4k=30 – 0∙(-5) = 30

Y6k=35 – (-1)∙(-5) = 30

Y7k=25 - 0∙(-5) = 25

Fmaxk=990 - 10∙(-5) = 1040.

После корректировки прибыль увеличилась, что связано с более полным использованием ресурсов.

Корректировка по базисным переменным (основным и дополнительным) – третий вид корректировки.

Согласно оптимального плана площадь картофеля составляет 70 га. Однако, допустим, что ситуация изменилась и нам необходимо уменьшить площадь данной культуры до 60 га. Прежде всего, среди небазисных переменных необходимо выбрать ту, которая позволит нам скорректировать решение. Пусть это будет переменная X3 (она выбирается произвольно). Тогда, используя общую формулу корректировки, получим:

X1k= X1 - 0·⌂ X3 или 60 = 70 - 0·⌂X3

Анализ показывает, что невозможно подобрать значение ⌂X3, которое обращает данное выражение в равенство. Следовательно, переменная X3 не может быть взята нами для корректировки. Небазисная переменная Y1 нас также не устраивает.

Попытаемся скорректировать оптимальный план с помощью небазисной переменной Y5 . Подставив известные значения в формулу корректировки, получим:

60 = 70 - 1·⌂Y5. Отсюда, ⌂Y5 = 10.

В результате мы определили величину корректировки по столбцу Y5 (⌂Y5 = 10). И теперь нужно рассчитать максимально возможную величину корректировки по этому столбцу. Дальнейшие операции нам уже известны:

 

‌X2k=15 – (-1)∙10 = 25

Y2k=215 – 5∙10 = 165

Y3k=125 – (-5)∙10 = 175

X1k=70 - 1∙10 = 60 и т.д.

Таким образом, корректировка по базисным переменным сводится к корректировке по небазисным переменным. Это возможно потому, что все коэффициенты симплексной таблицы взаимоувязаны друг с другом.

Выполним еще одну корректировку. Допустим, что фермер решил полностью использовать минеральные удобрения (согласно оптимального плана остаток удобрений составляет 125 кг). Выберем для корректировки небазисную переменную Y1 и с помощью общей формулы найдем значение ⌂Y1:

0 = 125 – (-25)∙ ⌂Y1. Отсюда ⌂Y1= -5.

Отсюда следует, что для решения проблемы необходимо площадь пашни увеличить на 5 га. Остается определить максимально возможную величину корректировки по столбцу

Y1. Для этого, по столбцу Y1 рассчитаем отрицательные симплексные отношения:

 

Минимальное по модулю отношение (-5) является искомой величиной. Необходимая величина корректировки по модулю (‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌-5) не превышает (в нашем случае равна) модуль максимальной величины корректировки по столбцу Y1. Следовательно, оптимальный план может быть скорректирован:

X2k=15 - 1∙(-5) = 20

Y2k=215 – (-15)∙(-5) = 140

Y3k=125 – (-25)∙(-5) = 0

- - - - - - - - - - - -

Fmaxk=990 - 10∙(-5) = 1040.


 

Двойственная задача.

 

Для любой экономико-математической модели (задачи) можно разработать обратную (двойственную) задачу. Обычно задача, в которой решается проблема оптимального использования ресурсов, называется прямой. Решив прямую задачу, можно, в частности, определить оптимальные размеры отраслей и в результате получить максимальный экономический эффект. Решение двойственной задачи дает нам совокупность объективно-обусловленных (двойственных) оценок, которые могут быть использованы при изучении различных производственно-экономических ситуаций.

Пусть имеется прямая задача.

Задача 12

Фермерское хозяйство планирует выращивать картофель, капусту и морковь. Для ведения производства имеются запасы минеральных удобрений в количестве (ц.д.в.):

азотные – 110;

фосфорные – 75;

калийные – 150

Площадь фермерского хозяйства 120 га.

Расход минеральных удобрений на единицу площади и денежная выручка с 1 га овощей представлены в таблице.

Таблица 66 – Производственно-экономические показатели выращивания овощей.

Показатели Культуры
картофель капуста морковь
Расход минеральных удобрений на 1 га, ц.д.в.: азотных         1,25    
фосфорных 0,5 1,2
калийных 1,25 1,5
Денежная выручка с 1 га, у.д.ед.

Рассчитать оптимальную структуру посевов, которая обеспечит по хозяйству максимальную денежную выручку.

В прямой задаче выделим 3 переменные:

X1 – площадь картофеля, га

X2 – площадь капусты, га

X3 – площадь моркови, га.

Тогда экономико-математическая модель имеет вид:

 

 

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

 

Составим исходную симплексную таблицу:

 

Таблица 67 – Исходная симплексная таблица задачи 12

 

БП СЧ НБП
X1 X2 X3
Y1 1,25
Y2 0,5 1,2
Y3 1,25 1,5
Y4
Fmax -200 -250 -320

 

Начальный план оказался сразу опорным. В результате двух переходов получен оптимальный план. Реализация оптимального плана позволит получить по хозяйству 26800 единиц денежной выручки.

Таблица 68 – Оптимальный план задачи 12

БП СЧ НБП
Y1 X2 Y2
X1 0,1 -2
X3 -1 1,15
Y3 22,5 -1,5 0,225 0,5
Y4 -1 -0,25
Fmax

 

Для этого площадь картофеля и моркови должна составить 70 и 40 га, соответственно. При этом азотные и фосфорные удобрения полностью расходованы (Y1, Y2 = 0). Напротив, остаток калийных удобрений составит 22,5 ц. Кроме того, часть земельных ресурсов (Y4 = 10) не будет использована.

Предположим, что фермерское хозяйство не планирует заниматься производственной деятельностью. Поэтому, имеющиеся ресурсы необходимо реализовать и, при этом, - получить денежную выручку не меньшую, чем от реализации сельскохозяйственной продукции. По каждому ресурсу (ограничению) введем двойственные оценки (у.д.ед.).

U1 – оценка по азотным удобрениям;

U2 – оценка по фосфорным удобрениям;

U3 – оценка по калийным удобрениям;

U4 – оценка по земле (пашне).

По условию прямой задачи на 1 га картофеля затрачивается 1 ц. д.в. азотных удобрений, 0,5 ц д.в. фосфорных удобрений и т.д. Следовательно, стоимость ресурсов (по двойственным оценкам), затрачиваемых на 1 га картофеля составит:

1U1 + 0,5U2 + 1,25 U3 + 1U4.

При этом стоимость ресурсов должна быть не меньше денежной выручки с 1 га картофеля. Таким образом, первое ограничение двойственной задачи имеет вид:

1U1 + 0,5U2 + 1,25 U3 + 1U4 ≥ 200

Рассуждая аналогичным образом, запишем второе и третье ограничения:

1,25U1 + 1,2U2 + 1,5 U3 + 1U4 ≥ 250

1U1 + 1U2 + 1 U3 + 1U4 ≥ 320.

Мы выяснили, что система ограничений двойственной задачи включает 3 ограничения. Мы также знаем, что система ограничений двойственной задачи отражает интересы фермера, т.к. он стремится реализовать ресурсы как можно дороже.

Напротив, целевая функция двойственной задачи выражает интересы покупателя, т.к. он намерен приобрести производственные ресурсы как можно дешевле:

Fmin =110U1 +75U2 +150U3 +120U4

Можно сделать вывод, что экономико-математическая модель двойственной задачи может быть быстро составлена на основе ограничений прямой задачи. При этом, нужно руководствоваться следующими правилами:

а) знаки ограничений прямой задачи противоположны знакам ограничений двойственной задачи. Поэтому, если ограничения прямой задачи имеют разные знаки, то их необходимо привести к одному типу (≤ или ≥);

б) коэффициенты столбцов прямой задачи являются коэффициентами строк двойственной задачи;

в) коэффициенты строк прямой задачи являются коэффициентами столбцов двойственной задачи;

г) коэффициенты целевой функции прямой задачи являются свободными членами двойственной задачи и наоборот;

д) если целевая функция одной из задач максимизируется, то целевая функция другой задачи минимизируется.

Таким образом, исходная симплексная таблица для двойственной задачи имеет вид.

Таблица 69 – Исходная симплексная таблица задачи 12а

 

БП СЧ НБП
U1 U2 U3 U4
С1 -200 -1 -0,5 -1,25 -1
С2 -250 -1,25 -1,2 -1,5 -1
С3 -320 -1 -1 -1 -1
Fmin≥ -110 -75 -150 -120

 

В результате нескольких переходов получен оптимальный план.

Таблица 70 – Оптимальный план двойственной задачи 12а

 

БП СЧ НБП
U4 С1 U3 С3
U1 -2 1,5
U2 -0,5 -2
С2 0,25 -0,1 -0,225 -1,15
Fmin≥ -10 -70 -22,5 -40

 

Оптимальный план двойственной задачи показывает, что суммарная оценка ресурсов равна 26800 ден. единиц. Заметим, что значение целевой функции прямой задачи также составляет 26800 денежных единиц.

Сравнивая заключительные симплексные таблицы прямой и двойственной задач, можно выделить несколько закономерностей:

а) коэффициенты столбца СЧ прямой задачи равны по модулю, но противоположны по значению коэффициентам целевой строки двойственной задачи (при решении прямой задачи на максимум). При этом между переменными наблюдаются следующие взаимозависимости:

Xj ≈ Cj

Yi ≈ Ui

Иными словами, коэффициенты столбца СЧ, расположенные в строках Xj и Yi (прямая задача) равны по модулю коэффициентам целевой строки, которые находятся в столбцах Cj и Ui (двойственная задача). Например, в нашем случае:

X1≈ C1 (70 ≈ -70)

X3≈ C3 (40 ≈ -40)

Y3≈ U3 (22,5 ≈ -22,5)

Y4≈ U4 (70 ≈ -70)

б) коэффициенты целевой строки прямой задачи (при решении её на максимум) равны коэффициентам столбца СЧ двойственной задачи. Взаимозависимости между переменными остаются прежними:

X2≈ C2 (138 ≈ 138)

Y1≈ U1 (80 ≈ 80)

Y2≈ U2 (240 ≈ 240)

в) для остальных коэффициентов (которые не находятся в целевой строке и столбце СЧ) выполняется зависимость: коэффициенты прямой задачи противоположны соответствующим коэффициентам двойственной задачи. Причем, соответствие коэффициентов определяется по известным формулам:

Xj ≈ Cj

Yi ≈ Ui

Например, в оптимальном плане прямой задачи есть элемент 2, расположенный в строке X3 и столбце Y2 .В оптимальном плане двойственной задачи имеется элемент -2, который находится в строке U2 (Y2 ≈ U2)и столбце C3 (X3 ≈ C3).

Более подробно проанализируем двойственные оценки. Из оптимального решения двойственной задачи следует, что двойственные оценки по первым двум ресурсам положительны (U1 =80; U2 =240). Что касается остальных двойственных оценок, то они равны нулю (переменные U3 и U4 являются небазисными). Заметим, что согласно оптимального плана прямой задачи, первый и второй ресурсы используются полностью (Y1=0 ; Y2=0).В свою очередь, наблюдается неполное использование калийных удобрений и земли (Y3=22,5 ; Y4=10).

Таким образом:

г) двойственные оценки равны нулю, если производственные ресурсы, для которых они рассчитаны, недоиспользуются. Если двойственные оценки положительны, то производственные ресурсы, к которым они относятся, используются полностью.

Ресурсы, получившие положительные двойственные оценки, сдерживают производство, т.к. являются дефицитными. Можно сказать, что двойственные оценки выступают мерой дефицитности ресурсов;

д) в некоторых случаях двойственные оценки могут иметь и отрицательные значения. Оптимальное решение прямой задачи показало, что калийные удобрения не являются дефицитными. Так, для выращивания сельскохозяйственных культур необходимо 127,5 ц калия (ресурсы удобрений составляют 150 ц, а остаток – 22,5 ц). Поэтому, двойственная оценка калийных удобрений нулевая.

Сделаем небольшие изменения в исходной задаче. Предположим, что ресурсы калия составляют 130 ц и все калийные удобрения необходимо полностью расходовать (остатка быть не должно). Модифицированная ЭММ (задача 13) имеет вид:

 

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

 

Запишем ограничения в симплексную таблицу.

Таблица 71 – Исходная симплексная таблица задачи 13

 

БП СЧ НБП
X1 X2 X3
Y1 1,25
Y2 0,5 1,2
1,25 1,5
Y4
Fmax -200 -250 -320

 

Мы знаем, что на начальном этапе необходимо избавиться от нулей в столбце БП, т.е. все нули должны быть перемещены в небазисные переменные. Например, поменяем местами 0 и небазисную переменную X3.В результате расчетов получим новую таблицу.

 

 

Таблица 71 – Первая симплексная таблица задачи 13

БП СЧ НБП
X1 X2
Y1 -20 -0,25 -0,25 -1
Y2 -55 -0,75 -0,30 -1
X3 1,25 1,5
Y4 -10 -0,25 -0,5 -1
Fmax

 

После этого 0-столбец не следует исключать из дальнейших расчетов (ранее мы его опускали). Коэффициенты этого столбца преобразуются по известным правилам. Однако, данный столбец уже не может быть взят в качестве разрешающего столбца.

Проведя необходимые расчеты, мы получим оптимальный план.

 


 

Таблица 72 – Оптимальный план задачи 13

БП СЧ НБП
X2 Y1
Y4 -0,25 -1
Y2 0,45 -3
X3 0,25 -4
X1 -4
Fmax -480

 

 

Все коэффициенты целевой строки положительны ( коэффициент 0-столбца во внимание не принимается). Однако коэффициент 0-столбца, расположенный в целевой строке (-480), указывает на то, что двойственная оценка калийных удобрений отрицательна.

Если в экономико-математической задаче имеется уравнение (как в нашем случае), то это уравнение можно записать в виде двух неравенств. Например, ЭММ последней ситуации может быть представлена в виде:

 

 

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

После нескольких итераций получен оптимальный план.

 

Таблица 73 – Оптимальный план задачи 13 (второй способ решения)

 

 

БП СЧ НБП
Y1 X2 Y4
Y2 -3 0,45 -2
Y5 -1 -0,25
Y3
X3 0,25
X1 -4 -4
Fmax

 

На основании решения можно по каждому ограничению (ресурсу) рассчитать двойственные оценки. Поскольку второй ресурс используется частично(Y2=5), то его оценка U2 =0. Аналогично: двойственная оценка по пашне (Y5) также нулевая. Из столбца Y1 находим, что оценка первого ресурса равна 800 (используем взаимозависимость (Y1 ≈ U1). Но, как рассчитать оценку третьего ресурса, т.е. калийных удобрений? Для этого берём ограничения, характеризующие использование калия и определяем соответствующие двойственные оценки по данным неравенствам: U3 =0; U4 =480.

Первая из двух оценок соответствует ограничению типа ≤ (1,25X1+1,5X2+1X3≤130). Тогда искомая двойственная оценка ресурса рассчитывается по формуле:

Uкалия = U3 – U4= 0 – 480 =-480.

Рассмотрим еще один вариант двойственной задачи (задача 14). Пусть запас калийных удобрений составляет 120 ц и все удобрения этого вида должны быть полностью использованы. В этом случае ЭММ ситуации записывается с помощью системы ограничений.

 

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

 

Ниже приведена заключительная таблица, в которой получен оптимальный план прямой задачи.

Таблица 74 – Оптимальный план задачи 14

БП СЧ НБП
Y3 X2 Y2
Y1 -0,666 -0,15 -0,333
X3 -0,666 1,666
Y4
X1 1,333 0,40 -1,333
Y5 -0,666 -0,40 -0,333
Fmax 53,33 150,0 266,6

 

Из таблицы можно определить все двойственные оценки, а именно:

U1 =0;

U2 =266,6;

U3 =53,53;

U4 =0

U5 =0.

Рассчитаем оценку калийных удобрений. Для этого применим уже известную формулу:

Uкалия = U3 – U4= 53,33 – 0 =53,33.

В заключении выполним одно упражнение. Для этого вернемся к исходной задаче 12 и сделаем небольшие изменения. Предположим, что запас фосфорных удобрений составляет 125 ц (вместо 75 ц). Кроме того, имеются дополнительные требования к площади посева отдельных культур. В частности, картофель должен занимать от 30 до 65 га. И последнее: суммарная площадь капусты и моркови составляет 70 га. С учетом этих требований ЭММ прямой задачи будет иметь вид:

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

 

Последнее требование (площадь капусты и моркови) нами было записано с помощью двух неравенств.

Чтобы записать ЭММ двойственной задачи необходимо выполнить несложное преобразование, а именно, нужно привести все ограничения прямой задачи к одному типу (например, к типу ” ≤”). Получим:

 

Fmax= 200X1 + 250X2 + 320X3

По каждому из восьми ограничений введем двойственные оценки U1 – U2. После этого запишем ограничения двойственной задачи:

Fmin= 110U1 + 125U2 + 150U3 +120U4 - 30U5 + 65U6 +70U7 - 70U8

И прямая и двойственная задачи были решены. В результате получены значения всех переменных. Однако предположим, что часть решения утеряна и нам известны только отдельные переменные. В частности, X2 = 0, U1 = 200, U8 = 0.Необходимо восстановить значения остальных переменных (X1, X3, U2 – U7). Известно, что X2 + X3 = 70. Следовательно, площадь моркови в оптимальном плане составляет 70 га (X3 = 70). Мы знаем, что двойственная оценка первого ограничения (азотные удобрения) положительна и поэтому соответствующие удобрения используются полностью. Следовательно, можно записать:

1X1 + 1,25 X2 + 1 X3 = 110 или

1X1 + 1,25 ∙0 + 1 ∙ 70 = 110.

Отсюда, X1 = 40.

Теперь можно рассчитать значение целевой функции:

Fmax= 200 ∙ 40 + 250 ∙ 0 + 320∙70 = 30400.

Зная значения основных переменных можно определить двойственные оценки по нескольким ограничениям. Подставим значения переменных X1 - X3 во второе ограничение: 0,5 ∙ 40 + 1,2 ∙0 + 1 ∙ 70 ≤ 125, т.е. 90 ≤ 125 .

Таким образом, фосфорные удобрения не используются полностью, поэтому оценка U2=0. Аналогично определим, что двойственные оценки U1 и U2 также будут нулевыми.

Анализ шестого ограничения X1 ≤ 65 (40 ≤ 65) показывает, что U6 = 0. На основании первого ограничения двойственной задачи можно рассчитать оценку U5. Для этого подставим уже известные значения в это ограничение. Имеем:

1 ∙ 200 + 0,5 ∙ 0 + 1,25 ∙ 0 +1 ∙ 0 - 1U5 + 1 ∙ 0 ≥ 200

200 - 1∙ U5 ≥ 200.

Отсюда видно, что переменная U5 не может принимать положительные значения, т.е. U5 =0.

Последняя двойственная оценка (U7 ) может быть определена на основании целевой функции двойственной задачи. При этом нужно помнить, что значения целевых функций двойственной и прямой задач совпадают. Исходя из вышесказанного, можно записать:

Fmin= 110∙200 + 125∙0 + 150∙0 +120∙0 - 30∙0 + 65∙0 +70U7 - 70∙0 = 30400. Отсюда,

U7 = 120. Задача решена.

 





Читайте также:
Аффирмации для сектора семьи: Я создаю прекрасный счастливый мир для себя и своей семьи...
Перечень актов освидетельствования скрытых работ и ответственных конструкций по видам работ: При освидетельствовании подготовительных работ оформляются следующие акты...
Образование Киргизкой (Казахской) АССР: Предметом изучения Современной истории Казахстана являются ...
Развитие понятия о числе: В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.105 с.