МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:

х = А₀ sin (w₀ t + j₀) (3)

и показывает, что при наличии в системе лишь силы упругости движение совершается по гармоническому закону. Величина , представляет собой циклическую частоту колебаний, А₀ - амплитуду, j₀ - начальную фазу, (w₀ t + j) - фазу колебаний. Период колебаний , а частота n = 1/ Т.

Зависимость скорости (v) движения материальной точки от времени при гармоническом колебании найдем, взяв производную по времени от формулы (3):

(4)

Из сравнения выражений (3) и (4) видно, что смещение и скорость гармонического колебания различаются по фазе на p /2: скорость максимальна при прохождении точкой положения равновесия (смещение равно нулю), наоборот, при максимальном смещении (равном амплитуде) скорость равна нулю.

Выражение для ускорения получается дифференцированием формулы (4):

(5)

Из формул (3) и (5) следует, что смещение и ускорение изменяются в противофазе.

2) Двойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропных средах. Существуют, однако, различные способы получения искусственной оптической анизотропии, т. е. сообщения оптической анизотропии естественно изотропным веществам.

Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под действием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы, стекла и др.); 2) электрического поля (эффект Керра*; жидкости, аморфные тела, газы); 3) магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды). В перечисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением деформации, электрического или магнитного полей соответст­венно указанным выше воздействиям.

* Д. Керр (1824—1904) — шотландский физик.

Мерой возникающей оптической анизотропии служит разность показателей прело­мления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси:

(195.1)

где k ₁, k ₂, k ₃ — постоянные, характеризующие вещество, s — нормальное напряжение (см. § 21), Е и Н — соответственно напряженность электрического и магнитного полей.

На рис. 284 приведена установка для наблюдения эффекта Керра в жидкостях (установки для изучения рассмотренных явлений однотипны). Ячейка Керра — кювета с жидкостью (например, нитробензолом), в которую введены пластины конденсатора, помещается между скрещенными поляризатором Р и анализатором А. При отсутствии электрического поля свет через систему не проходит. При наложении электрического поля жидкость становится двояко преломляющей; при изменении разности потенци­алов между электродами меняется степень анизотропии вещества, а следовательно, и интенсивность света, прошедшего через анализатор. На пути l между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода

(с учетом формулы (195.1)) или соответственно разность фаз

где B=k ₂ /l — постоянная Керра.

Эффект Керра — оптическая анизотропия веществ под действием электрического поля — объясняется различной поляризуемостью молекул жидкости по разным направлениям. Это явление практически безынерционно, т. е. время перехода вещества из изотропного состояния в анизотропное при включении поля (и обратно) составляет приблизительно 10^–10 с. Поэтому ячейка Керра служит идеальным световым затвором и применяется в быстропротекающих процессах (звукозапись, воспроизводство звука, скоростная фото- и киносъемка, изучение скорости распространения света и т. д.), в оптической локации, в оптической телефонии и т. д.

Искусственная анизотропия под действием механических воздействий позволяет исследовать напряжения, возникающие в прозрачных телах. В данном случае о степени деформации отдельных участков изделия (например, остаточных деформаций в стекле при закалке) судят по распределению в нем окраски. Так как применяемые обычно в технике материалы (металлы) непрозрачны, то исследование напряжений производят на прозрачных моделях, а потом делают соответствующий пересчет на проектируемую конструкцию.

3) ’В основеклассической теории теплоемкости твердых тел лежит закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Однородное твердое тело рассматривается как система независимых друг от друга частиц, имеющих три степени свободы и совершающих тепловые колебания с одинаковой частотой.

Причины расхождения с опытомклассической теории теплоемкости твердых тел состоят в ограниченности используемого закона равномерного распределения энергии по степеням свободы и непригодности его в области низких температур, где среднюю энергию колеблющихся частиц в кристаллической решетке необходимо вычислять по законам квантовой механики. В первоначальной квантовой теории теплоемкости твердых тел, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривается как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором.

Одним из серьезных недостатковклассической теории теплоемкости твердого тела Иными словами, недостатокклассической теории теплоемкости твердого тела заключается в том, что в ней не учитывается строение тела, а если и говорится об узлах решетки как о центрах колебаний, то все же не придается никакого значения упорядоченности в размещении этих центров. Поэтому классическая теория теплоемкости твердых тел с одинаковым успехом может быть применена как к кристаллическим телам с упорядоченным размещением атомов и с почти неподвижными центрами колебаний, так и к жидкостям, в которых центры колебаний размещены беспорядочно н постоянно перемещаются. применительно к металлам является ее вывод о доле электронной теплоемкости.

Как и для газов, классическая теория теплоемкостей твердых тел приводит к постоянному значению Cv, не зависящему от температуры, что противоречит опытным данным. Вполне очевидно, что с помощью классических представлений о колебаниях атомов в решетке невозможно выйти из этого противоречия и дать зависимость Cv от температуры.

Экспериментальные данные о теплоемкости твердых тел показывают, что при сравнительно хорошем согласии результатовклассической теории теплоемкости твердых тел с экспериментальными данными, полученными для таких, например, веществ, как алюминий, железо, золото, медь и ряд других, встречаются примеры резкого расхождения теории с экспериментом. Так, атомные теплоемкости бора и углерода в твердом состоянии значительно отличаются от значений, предсказываемых классической теорией.

4) В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада втеплоёмкость

При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами {\displaystyle \omega _{\mathbf {K}}} равна сумме их энергий:

{\displaystyle E=\sum _{\mathbf {K}}{\langle n_{\mathbf {K}}\rangle \hbar \omega _{\mathbf {K}}}=\int {D(\omega)n(\omega)\hbar \omega d\omega }}

где {\displaystyle D(\omega)} — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, {\displaystyle n(\omega)} — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.

Функция плотности {\displaystyle D(\omega)} в трёхмерном случае имеет вид:

{\displaystyle D(\omega)={\frac {V\omega ^{2}}{2\pi ^{2}v^{3}}}}

где V — объём твёрдого тела, {\displaystyle v} — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

{\displaystyle n={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}}

Тогда энергия запишется в виде

{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{\omega _{D}}{\left({\frac {\omega ^{2}V}{2\pi ^{2}v^{3}}}\right)\left({\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}\right)d\omega }}

{\displaystyle {\frac {U}{Nk_{B}}}=9T\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{T_{D}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx}

где {\displaystyle T_{D}} — температура Дебая, {\displaystyle N} — число атомов в твёрдом теле, {\displaystyle k_{B}} — постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:

{\displaystyle {\frac {c_{v}}{Nk_{B}}}=9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\,dx}