Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Функция арксинус y = arcsin(x).
Изобразим график функции арксинус:
Свойства функции арксинус y = arcsin(x).
· Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
· Область значений функции y = arcsin(x): .
· Функция арксинус - нечетная, так как .
· Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
· Функция вогнутая при , выпуклая при .
· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
· Асимптот нет.
К началу страницы
Функция арккосинус y = arccos(x).
График функции арккосинус имеет вид:
Свойства функции арккосинус y = arccos(x).
· Область определения функции арккосинус: .
· Область значений функции y = arccos(x): .
· Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
· Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
· Функция вогнутая при , выпуклая при .
· Точка перегиба .
· Асимптот нет.
К началу страницы
Функция арктангенс y = arctg(x).
График функции арктангенс имеет вид:
Свойства функции арктангенс y = arctg(x).
· Область определения функции y = arctg(x): .
· Область значений функции арктангенс: .
· Функция арктангенс - нечетная, так как .
· Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
· Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
· Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.
К началу страницы
Функция арккотангенс y = arcctg(x).
Изобразим график функции арккотангенс:
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).
· Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .
· Область значений функции y = arcctg(x): .
· Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
· Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
· Функция вогнутая при , выпуклая при .
· Точка перегиба .
· Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .
· Геометрия окружности и круга
· Геометрическим местом точек называется совокупность всех точек, удовлетворяющих заданным условиям. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами и обозначаются буквами r или R. Дуга — это часть окружности. Секущая — это прямая проходящая через две точки окружности. Хорда — это отрезок секущей, лежащий внутри окружности. С приближением к центру хорда увеличивается.
Окружность и радиус | Окружность и дуга окружности | Окружность и секущая |
· Диаметр — это хорда проходящая через центр окружности (обозначается d или D). Диаметр равен двум радиусам:
1. | d =2 r |
· Круг есть часть плоскости, лежащая внутри окружности. Касательная — это прямая пересекающаяся окружность только в одной точке. Касательная это выродившаяся секущая. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу проведенному в точку касания. Из одной точки вне круга можно провести к окружности две касательные. Их длины будут равны.
Окружность и касательная | Сегмент окружности | Сектор окружности |
· Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. Стрелка дуги — это перпендикуляр восстановленный из середины хорды до пересечения с дугой. Высота сегмента — это длина стрелки дуги. Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. Квадрант — это сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
· Окружность — линия, ограничивающая круг.
· Дуга — часть окружности.
· Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
· Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
· Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
· Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
· R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);
· D — диаметр круга — двойной радиус;
· C — длина окружности;
· L — длина дуги;
· X — длина хорды;
· H — высота сегмента;
· φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
· — площадь круга;
· — площадь сектора;
· — площадь сегмента.
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
· Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
· Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
· Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.