Критерии устойчивости линейных систем





Критериями устойчивости называют правила, позволяющие оценивать местоположение корней характеристического уравнения линейных систем на комплексной плоскости без их непосредственного вычисления. Для оценки местоположения корней критерии оперируют с характеристиками систем, тесно связанными с характеристическим уравнением.

По критериям особенно удобно определять устойчивость систем, заданных структурными схемами в виде, показанном на рис. 2.1, где передаточная функция разомкнутой системы

(2.4)

 
 


V(s) E(s) Y(s)

 

-

 

 

Рис. 2.1

 

является отношением многочленов:

В(s) = b0 sm + b1sm-1 + …+ bm;

D(s)=d0sn+d1sn-1+ …+ dn, n ≥ m. (2.5)

Уравнение D(s)=0 является характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Все критерии устойчивости делят, в основном, на две группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии для оценки устойчивости оперируют с коэффициентами характеристического уравнения замкнутой системы

Д(s)=D(s)+B(s)=a0sn+a1sn-1+…+an. (2.6)

Наиболее известными среди них являются критерии Рауса, Гурвица, Льенара-Шипара [2]. Частотные критерии для оценки устойчивости используют различные частотные характеристики, такие как Д(jω) = Д(s)| s = jω; W(jω) = W(s)|s = jω; L(ω) = 20lg |W(jω)| и φ(ω) = arg W(jω). Наиболее известными являются критерии Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий устойчивости [5].

 

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица использует для оценки местоположения корней уравнения Д(s)=0 коэффициенты . Прежде всего проверяется необходимый признак устойчивости вида ai > 0, i = . Если он не выполняется, то система не является асимптотически устойчивой. При этом дальнейший анализ устойчивости, как правило, нецелесообразен. При выполнении условия ai>0, i= составляется матрица Гурвица по следующему правилу. По главной диагонали последовательно выписывают все коэффициенты характеристического многочлена (2.6), начиная с а1. Вниз от элементов главной диагонали столбцы заполняют коэффициентами с

последовательно убывающими индексами, и нулями, когда индексы становятся отрицательными. Вверх от главной диагонали столбцы заполняются коэффициентами ai с возрастающими индексами и нулями, когда индекс должен бы быть больше n. Строки матрицы состоят из коэффициентов ai либо только с нечетными, либо только с четными индексами и нулями.

Если диагональные миноры (2.7) матрицы Гурвица положительны (Δi>0, i= ), то все корни характеристического уравнения Д(s) левые (Re si < 0, i = ). Если хотя бы один минор Δk, k Î матрицы Гурвица отрицателен то, по крайней мере, один из

(2.7)

корней правый ( ).

Если взять характеристический многочлен устойчивой системы и изменять его коэффициенты так, чтобы система стала неустойчивой, то, по крайней мере, один из миноров Δi матрицы Гурвица должен обратиться в ноль, а затем принимать отрицательные значения. Первым среди Δi обращается в ноль минор Δn-1. В этом случае все корни характеристического уравнения левые, за исключением одной пары чисто мнимых корней. Этот случай называют критическим. Последнее свойство миноров Δi, iÎ , называемых еще определителями Гурвица, используют для нахождения критического (граничного) коэффициента усиления разомкнутой системы , при котором в характеристическом уравнении есть пара чисто мнимых корней, а остальные левые. Условия для определения k = kкр имеют вид

Δi (k) > 0, i = ; Δn-1 (k) = 0. (2.8)

Для n = 3 все Δi >0, i = , если a1 > 0, a1a2 – a0a3 >0. Для n = 4 требуется еще выполнение условия a1a2a3 – a0 a23 – a21a4 > 0.

 





Читайте также:
Основные направления социальной политики: В Конституции Российской Федерации (ст. 7) характеризуется как...
Фразеологизмы и их происхождение: В Древней Греции жил царь Авгий. Он был...
Опасности нашей повседневной жизни: Опасность — возможность возникновения обстоятельств, при которых...
Примеры решений задач по астрономии: Фокусное расстояние объектива телескопа составляет 900 мм, а фокусное ...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.018 с.