Упругие волны и уравнение волны





Саратовский государственный технический университет

 

ИЗУЧЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ГАЗАХ

(экспериментальное определение скорости звука

и показателя адиабаты)

 

 

Методические указания

к выполнению лабораторной работы по физике

для студентов всех специальностей

всех форм обучения

 

 

Электронное издание локального распространения

 

 

 

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

 

 

САРАТОВ-2006

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.

Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

 

 

Составитель - Беляев Илья Викторович.

 

 

Под редакцией Зюрюкина Юрия Анатольевича.

 

 

Рецензент - Никишин Евгений Леонардович

 

 

410054, Саратов, ул. Политехническая 77,

Научно-техническая библиотека СГТУ,

тел. 52-63-81, 52-56-01

http: // lib.sstu.ru

 

Регистрационный

номер 060557Э

 

 

© Саратовский государственный

технический университет 2006 г.


Цель работы:изучение волновых процессов в газе (воздухе), определение скорости звука в воздухе, определение показателя адиабаты для воздуха.

 

Упругие волны и уравнение волны

Упругой волной называют процесс распространения возмущения в упругой среде. Несмотря на большое разнообразие физических процессов, вызывающих волны, их образование происходит по общему принципу.

Возмущение (отклонение какой-либо физической величины например: смещения, давления или плотности от равновесного значения) произошедшее в какой-нибудь точке среды в некоторый момент времени, проявляется спустя определенное время на интересующем нас расстоянии от этой точки, т.е. передается с определенной скоростью. Конечность скорости распространения волны лежит в основе ее математического описания. Представим себе одномерную систему связанных между собой частиц, например, цепочку грузиков, скрепленных пружинками. Пусть в какой-то точке xo системы мы привели в движение частицу (создали возмущение). Пусть смещение ее во времени описывается законом y(t,x0). Величина y(x0) имеет здесь смысл смещения грузикаотносительно своего положения равновесия,находящегося в точке с координатой xо. Через некоторое время t придет в движение частица, расположенная на расстоянии x-xo от возмущенной частицы. Если в среде нет никаких потерь энергии (диссипаций), то движение, возникшее в новой точке, будет в точности повторять исходное движение. Однако, во времени это возмущение запоздало на t по отношению к первоначальному, перемещаясь по системе со скоростью V и поэтому при записи закона изменения смещения каждой новой частицы во времени нужно записать

  рис.1. Продольное смещение в системе грузиков и процедура записи кинематического закона движения частицы в волне  

(1)

Эта запись справедлива для любой из частиц системы и поэтому представляет собой кинематический закон смещения частиц в волне (иногда говорят "уравнение волны").Здесь мы использовали обычное правило смещения функции по оси аргумента.

Таким образом, несмотря на то, что закон изменения величины в волне может быть любым - любой может быть функция y(t, xo), волну всегда можно узнать по характерному для нее запаздывающему аргументу.

Большое распространение в приложениях волновой теории имеют периодические возмущения, а среди них - синусоидальные (гармонические). Гармонические волны порождаются гармоническим колебанием , возбужденным в исходной точке (в источнике волны):

(2)

Величину A называют амплитудой волны, аргумент гармонической функции часто называют фазой. Величина является фаза гармонической волны. Поскольку мы имеем дело с периодическим возмущением, то при распространении волны в пространстве можно наблюдать точки, колеблющиеся синфазно - одинаково. Если скорость волны постоянна во времени, то эти точки будут расположены в пространстве периодически, через равные расстояния, а весь профиль волны будет равномерно перемещаться. Если зафиксировать момент времени - например, сфотографировать волну, то получим картину синусоидального профиля вдоль пространства. Если зафиксировать координату, например, наблюдать лишь за одной помеченной частицей системы, то мы увидим, как она будет синусоидально колебаться со временем.

рис.2. Временной и пространственный профили одномерной гармонической волны  

Приведем несколько эквивалентных записей волнового закона, так, чтобы выделить некоторые детали гармонического волнового процесса:

(3)

Наиболее распространены два последних вида записи гармонической волны. Первая из них показывает, что в гармонической волне имеются два масштаба: масштаб изменения фазы во времени - период колебаний Т и масштаб изменения фазы в пространстве -длина волныl = с Т = c / n . Вторая запись употребляется наиболее часто из-за компактности: в ней использовано обозначение - волновое число.

Отметим, что скорость распространения волн в каждой системе осцилляторов (в среде) определяется свойствами системы, ее реакцией на возмущение. Явление зависимости скорости распространения или длины волны от частоты называют дисперсией волны в среде.Например, скорость распространения гравитационных волн в воде существенно зависит от соотношения между глубиной и частотой возмущения. Скорость распространения света в среде отличается от скорости в вакууме на показатель преломления , который в свою очередь, зависит от частоты электромагнитных колебаний. Именно за счет этого возможно разложение света сложного состава в спектр при помощи призмы - свет различных частот отклоняется в ней на разные углы. Сказанное определяет зависимость длины волны в среде от свойств среды. Волна одной и той же частоты может иметь разную длину волны в разных средах.

 

Типы волн

 

Мы рассмотрели одномерную волну в цепочке грузиков на пружинках, но если бы мы рассматривали поведение воздуха в длинной трубке или поведение частиц в длинном стержне, то для описания процесса распространения периодического возмущения плотности в них (процесса распространения звука) все эти записи имели бы смысл с той лишь разницей, что величина y(x) имела бы смысл изменения плотности, концентрации или давления вокруг невозмущенного значения. Даже если бы мы рассматривали процесс распространения поперечных возмущений в системе грузиков на пружинках или процесс распространения поперечных колебаний в длинной струне, то и здесь все было бы верно, только величина y(x) имела бы смысл координаты поперечного смещения относительно невозмущенного значения. Соответственно, различают волны: продольные, в которых колебания происходят вдоль направления распространения волны и поперечные - в них колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волны.Пример продольных волн: звуковые волны в объеме среды (продольные смещения в пружине или волны упругости в стержне). Примеры поперечных волн: волны на границе поверхности раздела сред (например, волны на поверхности воды, волны на мембране телефона или деки гитары, рояля). Однако, одномерные волны - слишком простая модель. Волны могут быть и двумерные (поверхностные) и трехмерные, и тогда их математическая запись становится сложнее. Так например, уже поперечные волны требуют указания на направление своих колебаний.

рис.3.Одномерные волны в пружинке  

Изображенная на приведенном здесь рисунке поперечная волна в пружине может иметь различную ориентацию (употребляют термин поляризация) переносимых ею колебаний относительно одного из выбранных направлений, характеризуемую углом поляризации q (см. Рис. 3). Объемные волны тоже могут иметь поляризацию. К таким волнам относятся электромагнитные волны.

Пусть колебания создаются на жесткой плоскости и эти колебания каждой из точек Po плоскости происходят в такт, т.е. синфазно. Через некоторое время также синфазно будут колебаться точки параллельной плоскости. Для любой из точек P можно записать, например, следующее:

(4)

рис.4. К понятию плоской волны  

Эта формула описывает, так называемую

плоскую волну. Величина Aна всей

плоскости одинакова, и ее значение в

выбранной нами системе координат зависит

только от z. Поверхность в распространяю- щейся волне, на которой колебания происходят синфазно называется волновой поверхностью или волновым фронтом. Волновая поверхность в плоской волне - плоскость.

Иная картина возникает если форма источника колебаний более близка к цилиндру или нити. Можно понять это уже с энергетической точки зрения. При удалении от источника, его энергия распределяется по периметру области с увеличивающейся пропорционально радиусу области площади границы. Соответственно, обратно пропорционально расстоянию удаления новых точек от источника падает доля приходящей в каждую точку энергии источника. В результате амплитуда колебаний убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до источника . Волны такого типа называются цилиндрическими - их фронт представляет собой цилиндрическую поверхность.

Энергия волны от точечного источника в трехмерном пространстве убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а ее амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию , а в записи волны появляются векторные величины, среди которых - волновой вектор. Его модуль равен волновому числу, а направление указывает нормаль к волновому фронту в рассматриваемой точке пространства. Такие волны называются сферическими, в соответствии с названием поверхности волнового фронта. Все это дополнительно усложняет описание. Однако, и здесь можно, все-таки использовать имеющиеся уже записи. Главное упрощение состоит в том, что при ограниченной поверхности приемника (микрофон, сетчатка глаза, фотопластинка и т.п.) любую волну можно считать плоской, если источник колебаний находится очень далеко от области наблюдения.

Стоячие волны

При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Рассмотрим случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой w и амплитудой A распространяются в противоположных направлениях оси X.

и .

Для упрощения расчета, начала отсчета времени и координаты выбраны таким образом, чтобы начальные фазы j1 и j2 были равны нулю. Суперпозиция этих волн дает:

. (5)

Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т. е. w, а амплитуда и, в отличие то бегущей гармонической волны зависит от координаты x. В точках, где амплитуда максимальна и наблюдаются пучности, а где амплитуда равна нулю – узлы. Так как период равен p, поэтому и . т. е интервалы между соседними пучностями и узлами равны половине длине волны.

Между двумя соседними узлами все точки колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на p, т.е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы стоячей волны как бы разделяют среду на области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси X. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (5), и называют стоячей волной.

 





Читайте также:
Обучение и проверка знаний по охране труда на ЖД предприятии: Вредный производственный фактор – воздействие, которого...
Особенности этнокультурного развития народов Пензенского края: Пензенский край – типичный российский регион, где проживает ...
Основные понятия туризма: Это специалист в отрасли туризма, который занимается...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.042 с.