1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Свойства биссектрис треугольника
1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Свойства высот треугольника
1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Подобие треугольников
Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:
· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
Теорема синусов
Теорема косинусов
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos
Формулы площади треугольника
1. Произвольный треугольник
a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b; — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
S = aha
S = ab sin
S = pr
2. Прямоугольный треугольник
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.
S = chc S = ab
3. Равносторонний треугольник
Четырехугольники
Свойства параллелограмма
· противолежащие стороны равны;
· противоположные углы равны;
· диагонали точкой пересечения делятся пополам;
· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойства трапеции
· ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
· если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
· если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
· если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Свойства прямоугольника
· все свойства параллелограмма;
· диагонали равны.
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Свойства ромба
· все свойства параллелограмма;
· диагонали перпендикулярны;
· диагонали являются биссектрисами его углов.
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Свойства квадрата
· все углы квадрата прямые;
· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
1. Произвольный выпуклый четырехугольник
d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.
S = d 1 d 2 sin
2. Параллелограмм
S = aha
S = ab sin
S = d 1 d 2 sin
3. Трапеция
S = lh
4. Прямоугольник
S = ab
S = d 1 d 2 sin
5. Ромб
S = aha
S = a2sin
S = d 1 d 2
6. Квадрат
S = a2 S = d 2