Интерполирование функций

Задача интерполирования функции на некотором отрезке [a, b] формулируется следующим образом. На отрезке [ задано точек , которые называют узлами. Обычно считают, что первая и последняя точки совпадают с концами отрезка [ : . Известны значения функции в этих точках, . Требуется заменить эту функцию некоторой другой функцией таким образом, чтобы значения обеих функций совпадали в узлах, т. е. чтобы выполнялись равенства:

.

Искомой неизвестной в данной задаче является функция .
Сформулированную задачу иногда интерпретируют следующим образом.
Некоторая функция задана на отрезке таблицей своих значений

 

				…
				…

И требуется найти способ определения значений этой функции в любых других точках отрезка .
Чаще всего функцию представляют в виде полинома - й степени

Доказано, что если точки попарно различны, что предполагается при постановке задачи, то существует единственный полином степени для которого выполняется условие:

Этот полином называется интерполяционным полиномом для функции .

Интерполяционный полином можно представить в различных формах. Одной из них является форма Лагранжа. Полином Лагранжа имеет следующий вид:

или в компактной форме:

Интерполяционный полином можно также представить в форме Ньютона.

Напомним понятие разделенных разностей функции .

Разделенными разностями первого порядка функции в точке называются отношения:

Разделенными разностями второго порядка функции в точке называются отношения:

Вообще, разделенные разности порядка определяются через разделенные разности порядка с помощью рекуррентного соотношения:

,

Разделенные разности строятся для точки .

Полином Ньютона, выраженный через разделенные разности в начальной точке , имеет вид:

При заданном числе узлов полином Ньютона удобнее вычислять по схеме Горнера, записывая его в виде

Полином Ньютона, записанный через разделенные разности в конечной точке ,имеет вид:

Достоинство интерполяционного полинома Ньютона, он удобен при расширении интерполяции и добавлении узлов.

Абсолютная погрешность интерполирования оценивается выражением:

, где:

и

.

- максимальное по модулю значение ( производной функции на отрезке интерполирования [a,b].
- полином степени со старшим коэффициентом, равным 1 и обращающийся в нуль во всех узлах интерполирования.

 

Рассмотрим построение интерполяционного полинома на примере.

Пусть дана функция:

на отрезке [-1,1].

Выберем узлы интерполирования: -1, 0, 1 и вычислим значения функции в узлах. Данные занесем в таблицу:

 

 

i
	-1
	1,5

 

Построим полином Лагранжа:

Построим полином Ньютона, выраженный через разделенные разности в начальной точке :

Вычислим разделенные разности:

Результаты вычислений удобно представлять таблицей:

 

-1	1,5
		-0,5
			1,25

Разделенные разности образуют верхнюю убывающую диагональ, содержащую разделенные разности в начальной точке (числа 1,5;-0,5;1,25) и нижнюю возрастающую диагональ, содержащую разделенные разности в конечной точке (3;2;1,25)

Полином Ньютона будет иметь вид:

.

Построим полином Ньютона, выраженный через разделенные разности в конечной точке :

Еще раз напомним, что разделенные разности являются симметрическими функциями своих аргументов и:

Построим график нашей функции и полученного интерполяционного полинома.

На графике f1(x) и есть наш интерполяционный полином:

 

Оценим погрешность интерполирования на отрезке [-1,1].

3 – производная равна:

Максимального значения на [-1,1] она достигает при :

Максимальное значение полинома на отрезке [-1,1]:

Получим предельное значение абсолютной погрешности:

.
Итак, погрешность интерполирования нашей функции на отрезке [-1,1] полиномом оценивается выражением:

Из формулы оценки абсолютной погрешности видно, что погрешность интерполирования зависит от двух множителей, один из которых зависит от свойств самой функции и не поддается регулированию, а величина другого определяется исключительно выбором узлов интерполирования. Наилучшие узлы интерполирования выбираются равными корням так называемого полинома «наименее отклоняющегося от нуля» на отрезке интерполирования [a, b].Полином n – ой степени, наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [-1,1] – это полином со старшим коэффициентом равным единице, для которого величина минимальна. Этот полином был найден Чебышевым и назван его именем.

Наилучшие узлы интерполирования на отрезке [-1,1] определяются формулой, в нашем случае

 

Наилучшие узлы интерполирования на произвольном отрезке [a, b] находятся по формуле:

Т.к. отрезок интерполирования у нас [-1,1], то ,

Получили наилучшие узлы интерполирования:

Построим полином степени и оценим погрешность интерполирования с выбором наилучших узлов интерполирования:

Максимальное значение полинома на отрезке [-1,1]:

.

Получим предельное значение абсолютной погрешности

Если бы мы строили полином с выбором наилучших узлов интерполирования, абсолютная погрешность интерполирования оценивалась бы выражением: