Аналитический метод кинематического анализа

2.4.1. Общие сведения о методе

Графический метод (или метод диаграмм) и графоаналитический метод (или метод планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют свои недостатки, а именно невысокую точность, которая определяется точностью графических построений, и большую трудоёмкость. В частности, при иcпользовании графического метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и ускорений для каждой исследуемой точки механизма. А при использовании графоаналитического метода необходимо построить несколько планов скоростей и ускорений механизма, чтобы определить динамику изменение скорости и ускорения интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).

Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости (формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных техники и технологии, что в последнее время является вполне возможным и доступным.

Существуют два основных метода аналитического исследования:

а) Метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) /3/; он удобен для кинематического анализа практически всех используемых в технике несложных рычажных механизмов;

б) Метод преобразования координат (метод Морошкина) /4/; он удобен для кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов промышленных роботов.

Прежде чем рассматривать аналитический метод, необходимо ввести некоторые понятия и определения, которые рассмотрим ниже.

2.4.2. Функция положения. Аналог скорости. Аналог ускорения

Положение любого звена механизма может определяться следующими параметрами: углом j_К относительно какой-либо координатной оси или координатами Х_К и Y_К.

Функция положения – это аналитическая зависимость положения или координаты К -го звена (j_К, Х_К или Y_К) от положения ведущего звена j₁, т.е. j_К (j₁) или X_K(j₁) и Y_K(j₁), где j_К, X_K и Y_K - координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол j₁ - угол, характеризующий положение ведущего звена.

Аналог скорости. Угловая скорость К -го звена определяется зависимостью

,

где - аналог скорости К -го звена (или первая передаточная функция) для вращающегося звена, величина безразмерная;

и - аналоги скорости К -го звена, движущегося поступательно, величина также безразмерная.

Аналог ускорения. Угловая скорость К -го звена определяется зависимостью:

.

Здесь при дифференцировании предполагается, что угловая скорость К -го звена w_к определяется зависимостью

;

а угол j_к является функцией угла j₁

.

Величину называют аналогом ускорения К -го звена, совершающего вращательное движение.

Аналогично величины и называют аналогами ускорения К -го звена, двигающегося поступательно, в проекциях на оси X и Y.

Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет геометрические свойства механизма от кинематических.

Величину называют ещё передаточным отношением, так как выражение можно преобразовать следующим образом, умножив и разделив его на величину dt:

.

Отношение угловых скоростей в механике называют передаточным отношением

.

Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.

Задачи кинематического анализа и пути их аналитического решения приведены в следующей таблице:

Задача о положениях	Задача о скоростях	Задача об ускорения
Определить	1.Определение аналогов скоростей	1.Определение аналогов ускорений
	2.Вычисление скоростей	2. Вычисление ускорений

Как следует из приведенной таблицы, для решения задачи о положениях звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (j_К или Х_К и Y_К), предварительно составив векторное уравнение замкнутого векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения (зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена). При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратно-поступательное движение).

Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена, получить формулы расчета искомых скоростей.

Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины ускорений.

Ниже приводится пример кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма аналитическим методом.