2.4.1. Общие сведения о методе
Графический метод (или метод диаграмм) и графоаналитический метод (или метод планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют свои недостатки, а именно невысокую точность, которая определяется точностью графических построений, и большую трудоёмкость. В частности, при иcпользовании графического метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и ускорений для каждой исследуемой точки механизма. А при использовании графоаналитического метода необходимо построить несколько планов скоростей и ускорений механизма, чтобы определить динамику изменение скорости и ускорения интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).
Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости (формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных техники и технологии, что в последнее время является вполне возможным и доступным.
Существуют два основных метода аналитического исследования:
а) Метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) /3/; он удобен для кинематического анализа практически всех используемых в технике несложных рычажных механизмов;
б) Метод преобразования координат (метод Морошкина) /4/; он удобен для кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов промышленных роботов.
Прежде чем рассматривать аналитический метод, необходимо ввести некоторые понятия и определения, которые рассмотрим ниже.
2.4.2. Функция положения. Аналог скорости. Аналог ускорения
Положение любого звена механизма может определяться следующими параметрами: углом jК относительно какой-либо координатной оси или координатами ХК и YК.
Функция положения – это аналитическая зависимость положения или координаты К -го звена (jК, ХК или YК) от положения ведущего звена j1, т.е. jК (j1) или XK(j1) и YK(j1), где jК, XK и YK - координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол j1 - угол, характеризующий положение ведущего звена.
Аналог скорости. Угловая скорость К -го звена определяется зависимостью
,
где - аналог скорости К -го звена (или первая передаточная функция) для вращающегося звена, величина безразмерная;
и - аналоги скорости К -го звена, движущегося поступательно, величина также безразмерная.
Аналог ускорения. Угловая скорость К -го звена определяется зависимостью:
.
Здесь при дифференцировании предполагается, что угловая скорость К -го звена wк определяется зависимостью
;
а угол jк является функцией угла j1
.
Величину называют аналогом ускорения К -го звена, совершающего вращательное движение.
Аналогично величины и называют аналогами ускорения К -го звена, двигающегося поступательно, в проекциях на оси X и Y.
Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет геометрические свойства механизма от кинематических.
Величину называют ещё передаточным отношением, так как выражение можно преобразовать следующим образом, умножив и разделив его на величину dt:
.
Отношение угловых скоростей в механике называют передаточным отношением
.
Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.
Задачи кинематического анализа и пути их аналитического решения приведены в следующей таблице:
Задача о положениях | Задача о скоростях | Задача об ускорения |
Определить | 1.Определение аналогов скоростей | 1.Определение аналогов ускорений |
2.Вычисление скоростей | 2. Вычисление ускорений | |
Как следует из приведенной таблицы, для решения задачи о положениях звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (jК или ХК и YК), предварительно составив векторное уравнение замкнутого векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения (зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена). При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратно-поступательное движение).
Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена, получить формулы расчета искомых скоростей.
Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины ускорений.
Ниже приводится пример кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма аналитическим методом.