А. правостороннюю критическую область

Решение

Исследуемый признак – это время ежедневного просмотра телепередач.

Тип исследуемого признака – непрерывный.

Построим гистограмму относительных частот. Разбиваем на пять интервалов, получаем длину интервала h=1,171

Номер интервала i	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала	Относительные частоты	Плотности относительных частот
	[0,891;2,062)		0,04	0,034159
	[2,062;3,233)		0,12	0,102477
	[3,233; 4,404)		0,36	0,30743
	[4,404;5,575)		0,28	0,239112
	[ 5,575;6,746]		0,2	0,170794

 

Анализируя построенную гистограмму относительных частот, делаем гипотезу о нормальном законе распределения.

Вычислим выборочные характеристики изучаемого признака:

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Уровень значимости

Выборочная средняя

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Найдем интервалы . Для этого составим расчетную таблицу. Левый конец первого интервала примем равным , а правый конец последнего интервала

№ п/п	Интервал группировки	Частота		Функция	Вероятность pi
	[- ;2,062)		-	-0,5	0,016	0,4	0,9
	[2,062;3,233)		-2,15	-0,484	0,0896	2,24	0,257857
	[3,233; 4,404)		-1,25	-0,3944	0,5275	13,1875	1,32968
	[4,404;5,575)		0,34	0,1331	0,3075	7,6875	0,061484
	[ 5,575;+ ]		1,56	0,4406	0,0594	1,485	8,320017
	-	-	+	0,5	-	-	-
	-						10,869

Вычисленная статистика критерия 10,869. Количество интервалов группировки k=5, число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке, m=2. Для заданного уровня значимости критерия =0,1. Для заданного уровня значимости критерия .

Так как то нулевая гипотеза о нормальности распределения величины не согласуется с имеющимися данными

Интервальная оценка математического ожидания

Ф(t)=0,9

Доверительный интервал для дисперсии возмущений вычисляется по следующей формуле:

Доверительный интервал для оценки теоретического генерального среднего:

< a < ,

Доверительный интервал для дисперсии возмущений вычисляется по следующей формуле:

α=0.1

23*1.674/36,42<σ²<23*1.674/13.848

1,057<σ²<2,78

Для проверки нулевой гипотезы Н₀: а = а ₀о равенстве теоретического (генерального) среднего а заданному значению а ₀ при альтернативной гипотезе Н₁ вида: а а ₀ – двусторонняя гипотеза;

5

Нулевая гипотеза противоречит имеющимся данным

Критерии значимости для проверки нулевой гипотезы Н₀: s ² = s ₀² о равенстве генеральной дисперсии заданному значению s ₀² при альтернативной гипотезе Н₁вида: Н₁: s ² ¹ s ₀² – двусторонняя гипотеза;

Н₁: s ² ¹ s ₀² – двусторонняя гипотеза;

1

То нулевую гипотезу следует принять

Ситуационная (практическая) задача № 2

В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже:

Число выбывших станков
Число зарегистрированных случаев

 

Необходимо:

§ Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

§ В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

§ На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

§ Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

§ Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

§ При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона.

Решение

Признак дискретный

Функция распределена по нормальному закону

Рассчитаем среднее значение:

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

< a < ,

Доверительный интервал для дисперсии возмущений вычисляется по следующей формуле:

α=0.01

χ²_(0.99)(199)=135,81

χ²_(0.01)(199)=70.08

198*2,44/135,81<σ²<198*2,44/70,08

3,56<σ²<6,89

Таблица для расчета показателей.

 

xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
				70.98	129.18	0.2
				52.48	43.03	0.32
				7.74	1.39	0.22
				28.32	33.42	0.12
				34.88	76.04	0.08
				25.44	80.9	0.04
				16.72	69.89	0.02
				10.36	53.66	0.01
Итого				246.92	487.52

 

Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная


Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X_max - X_min
R = 10 - 0 = 10
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).


Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.82 в среднем на 1.56
Проверка гипотез о виде распределения.
2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.
а) Находим по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю (x_В = 1.82).
б) Принимаем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю x_ср = 1.82. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

в) Найдем по формуле Пуассона вероятности P_i, появления ровно i событий в n испытаниях. Находим теоретические частоты по формуле np_i
i = 0: p₀ = 0.16, np₀ = 32.41
i = 1: p₁ = 0.29, np₁ = 58.98
i = 2: p₂ = 0.27, np₂ = 53.67
i = 3: p₃ = 0.16, np₃ = 32.56
i = 4: p₄ = 0.0741, np₄ = 14.81
i = 5: p₅ = 0.027, np₅ = 5.39
i = 6: p₆ = 0.00818, np₆ = 1.64
i = 7: p₇ = 0.00213, np₇ = 0.43
i = 8: p₈ = 0.000484, np₈ = 0.0968
i = 9: p₉ = 9.8E-5, np₉ = 0.0196
i = 10: p₁₀ = 1.8E-5, np₁₀ = 0.00356
Объединим малочисленные частоты: (10,9,8,7,6) и соответствующие им теоретические частоты.
в) Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле (5 столбец таблицы):

 

i	Наблюдаемая частота ni	pi	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki
		0.16	32.41	1.34
		0.29	58.98	0.43
		0.27	53.67	2.12
		0.16	32.56	2.25
		0.0741	14.81	0.0948
		0.027	5.39	1.26
		0.0109	2.18	6.69
				14.18

 

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).
Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения γ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ).
Kkp(0.05;5) = 11.07050; Kнабл = 14.18
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по закону Пуассона.

Тесты

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка

Найти относительную частоту варианты

 

А. 0,12

Б. 6

В. 50

Г. 1,2

 

2. Дана выборка 2, 2, 3, 7, 7, 3, 8, 7, 2, 9. Найти несмещенную оценку математического ожидания.

 

А. 40

Б. 4

В. 5

Г. 2

 

3. Мода вариационного ряда 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 6 равна

Мода это наиболее часто встречающая величина

А. 2

Б. 3

В. 4,5

Г. 10/3

 

4. Дана выборка 1, 3, 6, 6, 5, 3, 7, 7, 3, 9. Найти выборочную дисперсию

А. 6

Б. 5,4

В. 4

Г. 60

 

5. Дана выборка 4, 3, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 2, 3. Найти несмещенную оценку дисперсии

А. 1,8

Б. 5

В. 2

Г. 4

 

6. Дан доверительный интервал (15,5; 17,2) для оценки математического ожидания нормального распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна

А. 15,5

Б. 16,35

В. 0,85

Г. 32,7

 

7. Дан доверительный интервал (15,4; 16,5) для оценки математического ожидания нормального распределенного количественного признака. Тогда точность оценки равна

А. 15,95

Б. 0,55

В. 0,5

Г. 31,9

 

8. Чему равен квантиль распределения «хи-квадрат» ?

А. -20,703

Б. 23,031

В. 5,921

Г. 20,703

 

9. Чему равен квантиль распределения Стьюдента ?

А. 2,8453

Б. 0,687

В. –0,687

Г. –2,8453

 

10. Соотношением вида можно определить:

А. правостороннюю критическую область

Б. левостороннюю критическую область

В. область принятия гипотезы

Г. двустороннюю критическую область