Шумящие циклы, окна периодичности, перемежаемость




Простейшие системы

С дискретным временем

 

 

Каждой эпохе воздадим по заслугам!

Новое время также имеет блестящие

достижения.

 

Р. Шуман

 

Еще не так давно казалось, что более глубокое поминание нелинейных явлений будет связано с анализом все более сложных математических моделей. И тем более поразительно, что крупные успехи в изучении нелинейных систем, в предсказании новых эффектов, были достигнуты в ходе исследования вызывающе простых математических моделей — одномерных отображений, зависящих от параметров:

(7.1)

 

Явная формула (7.1), задающая одномерное отображение, позволяет по числу xn определить следующее число xn+1 и таким образом определяет всю последовательность { xn }. Можно скатать, что соотношение (7.1) соответствует некоторому итерационному процессу.

Поэтому последовательность чисел { xn } часто называют итерациями начальной точки x.

Простейшие отображения вида (7.1) были известны еще Евклиду и Архимеду. При , соотношение (7.1) определяет геометрическую прогрессию со знаменателем l. При — арифметическую прогрессию.

Однако если — простейшая нелинейная функция аргумента x, например, квадратичная парабола, то свойства последовательности { xn }

могут оказаться совершенно необычными. Принципиальный шаг в их

понимании был сделан в 70-х ГГ. и оказался возможным благодаря использованию компьютеров.

В настоящее время одномерные отображения выступают, с одной стороны, как упрощенные модели множества различных процессов, с другой стороны — как язык, на котором можно говорить о многих сложных явлениях.

Исследование одномерных отображений позволило ввести новые понятия, применимые к большому классу диссипативных систем, обнаружить ряд новых явлений, ответить на несколько принципиальных вопросов. Как происходит переход от простейших упорядоченных к хаотическим режимам при изменении параметров? Как чередуется в пространстве параметров области, в которых наблюдается порядок и хаос? Как происходит усложнение упорядоченности при изменении параметра? Каковы простейшие типы хаоса в открытых нелинейных системах и способы их описания?

Приведем несколько типичных ситуаций, в которых одномерные отображения выступают, как математические модели либо возникают при численном решении уравнений.

 

Отображения как модели процессов с дискретным временем

 

Выше мы обсуждали свойства нелинейного дифференциального уравнения, называемого логистическим уравнением. В этой модели время t считается непрерывным. Эта переменная может быть любым действительным числом в интервале 0 £ t < ¥. Численность популяции x(t) предлагается непрерывной и дифференцируемой функцией этого аргумента. По существу, мы неявно подразумеваем, что у нас есть возможность в любой момент времени измерить величину x(t) и сравнить ее с предсказаниями модели.

Но возможна совершенно иная ситуация, допустим, что существует возможность оценить численность популяции только раз в год. Тогда естественно временную переменную считать не непрерывной, а дискретной.

Например, такой, которая может принимать только целые действительные значения n = 1‚2‚... Численность популяции тогда будет выражаться функцией дискретного аргумента x(n) или, как ее часто обозначают xn.

Последовательность x1,x2,…. для краткости буден обозначать { xn }.

Можно считать, что xn — численность популяции в год с номером n. По-видимому, среди чисел xn есть какая—то закономерность. Естественно ожидать, что численность популяции в данный год xn+1 зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от величины xn. Таким образом, в простейшем случае, (когда величина xn+1 зависит только от численности в предыдущий год, а не от xn-1, xn-2 ,и т.д.) мы приходим к математической модели вида (7.1). В этой модели f— непрерывная однозначная функция своих аргументов, l — параметр, который зависит от того, какую конкретную задачу мы рассматриваем х' — начальное значение, — первый член в последовательности { xn }. Часто используется функция f вида lх(N-x):

(7.2)

 

Эта зависимость выбирается из тех же соображений, что и правая часть в логистическом уравнении. Формула (7.2) показывает, что если lN > 1, то численность вида растет, пока она мала xn<<N.

В силу ограниченности ресурсов численность животных начинает убывать, когда животных становится слишком много. Так же, как в логистическом уравнении, это учитывается с помощью ограничивающего квадратичного члена. Удобно сделать замену переменных При этом формула (7.2) приобретает вид:

(7.3)

 

В дальнейшем штрихи у новых переменных будем опускать. Отображения (7.2) и (7.3) часто называют логистическим отображением.

 

Нас интересует вопрос о том, что произойдет с различными видами по прошествии достаточно долгого времени, т.е. каковы аттракторы изучаемого отображения. Для ответа на него в этой простейшей модели достаточно выяснить, какой будет последовательность {xn}‚ n —› ¥ при различных значениях l. Отображения вида (7.1) в настоящее время используют при феноменологическом описании ряда процессов в экономике, гидродинамике, электронике, в других областях.

 

Отображения, возникающие в результате применения

метода Эйлера к дифференциальным уравнениям

 

Обсуждая линейные дифференциальные уравнения, мы рассмотрели модель Мальтуса, в соответствии с которой численность популяции должна неограниченно расти. Для того чтобы учесть ограниченность ресурсов, доступных популяции, и внутривидовой отбор, естественно ввести нелинейный ограничивающий член. Это приводит к уравнению

Мы выбрали единицы измерения так, чтобы за единицу была взята предельная численность популяции. При 0 < N(0) < t, N(t)®1 при t®¥. В этом нетрудно убедиться, проводя качественное исследование этой модели. Неподвижная точка N = 0 явятся неустойчивой, точка N = 1 - устойчивой.

Применим к этому уравнению метод Эйлера

 

 

и введем обозначения N(kt)=Nk.

 

Следовательно, мы вновь получаем одномерное отображение (7.3). Как мы убедимся далее, его свойства похожи на свойства дифференциального уравнения только при небольших t. Когда шаг по времени t превышает некоторое критическое значение, поведение этих двух объектов начинает качественно отличаться.

 

Отображения, возникающие при численном решении

нелинейных алгебраических уравнений

 

Стандартным методом численного решения нелинейных алгебраических уравнений вида:

 

является построение последовательности {xn}, сходящейся к его корню x*. Это можно сделать с помощью метода простой итерации (рис. 7.1а)

 

либо метода Ньютона (рис. 7.1 б)

Как мы видим, в обоих случаях возникают одномерные отображения.

 

 

Рисунок 7.1 - Графическое отображение итерационного процесса, применяемого для решения нелинейных алгебраических уравнений: а) метод простой инерции; б) метод Ньютона

Построение отображения, как способ обработки

экспериментальных данных

 

Пусть мы наблюдаем за каким-либо сложным процессом, развивающимся во времени и характеризующимся функцией x(t). Поступим следующим образом. Выделим локальные максимумы функции x(t). Первый максимум обозначим через М1, второй через М2, k-й через Мk (см. рис.7.2 а). Первый максимум достигается в момент t1, второй в монет t2 и т.д. На плоскости {Мk, Мk+1}, т.е. первая точка будем откладывать точки с координатами (Мk, Мk+1), т.e. первая точка будет (М1, М2), вторая - (М2, М3) т.д. (см. рис. 7.2 б). Оказывается, для некоторых колебательных химических реакций, математических моделей гидродинамики

Рисунок 7.2 – Одновременное отображение может возникнуть при анализе экспериментальных данных: а) выделение локальных максимумов в зависимости x(t); б) характерный вид отображения, возникавшего при анализе колебательных химических реакций с хаотическим поведением

 

и ряда других систем точки {Mk,Mk+1} с высокой точностью ложатся на однозначные непрерывные кривые Mn+1 = f(Mn). Типичный вид отображения, возникающие в натурном эксперименте по исследованию колебательных химических реакций с хаотическим поведением, представлен на рис.7.2 б.

Наличие такой функции f позволяет в ряде случаев строить простые феноменологические модели изучаемых явлении. Такие модели, в частности, дают возможность по предыдущим значениям локальных максимумов предсказывать следующие, т. е. прогнозировать следующий ход процесса, исходя из его предыстории.

Существование кривой f показывает, что в системе происходит самоорганизация: ее динамика эффективно описывается дискретной динамической системой всего лишь с одной степенью свободы.

В обсуждаемом случае мы можем предсказать величину Mn+1 если известен максимум Mn, и отображение f, однако одномерное отображение не позволяет узнать момент tn+1. В некоторых системах, напротив, интервалы времени , через которые функция x(t) достигает локальных максимумов, с высокой точностью определяются некоторым отображением .

Естественно‚ в общем случае при анализе экспериментальных данных точки (Mn, Mn+1) заполняют целые области на плоскости { Mn, Mn+1}. Поэтому если какие-то экспериментальные данные определяют одномерное отображение, то это следует рассматривать как большую удачу.

 

Сценарий Фейгенбаума

 

Анализ логистического отображения позволил выяснить многие общие свойства одномерных отображении. Рассмотрим более подробно эту математическую модель.

 

При небольших значениях l(0< l <1) хn® 0 при n®¥ независимом выбора x1. Поведение последовательности в этом и в других случаях удобно представлять графически.

Нарисуем кривую y=f(x) при выбранном значении l и прямую y = x (рисунок 7.3). Отложим x1 по оси абсцисс, проведен вертикаль до пересечения с кривой у = f(x) (точка А), затем из нее - горизонталь до пересечения с линией y = x (точка В). Теперь вновь проведем вертикаль до пересечении с осью х. Полученную точку пересечения обозначим через х2. Легко проверить, что


Рисунок 7.3 – Графическое представление последовательности (хn) для логического отображения в том случаи, когда хn ®0 при n®¥

 

х2 = f(x1). Взяв точку х2 за начальную и повторив все те же операции, получим х3. затем х4 и т.д. Эта процедура называется лестницы Ламерея. Она позволяет графически находить члены последовательности {xn}. Из рисунка 7.3 видно, что xn ®0 при n ®¥. Из формулы (7.3) следует, что функция f(x) переводит отрезок [0,1] в отрезок [0,l/4].


Если l£4, то все значения хn лежат на отрезке [0,1] при условии, что 0£ х1 £1. Именно поэтому говорят, что формула (7.3) задает отображение отрезка в себя.


 

Пусть теперь l немного больше единицы. При этом последовательность {хn} ведет себя по - другому (рисунок 7.4): {хn} стремится к постоянному значению x* > 0. В применении к исходной биологической задаче это означает, что численность такого‚ вида по прошествии нескольких лет стабилизируется и перестанет меняться со временем.


Значение х* может быть найдено из уравнения:

х* = f(x*,l) (7.4)

Все точки удовлетворяющие этому уравнению, называются неподвижными точками отображения, так как хn = х* при любом n, если х1 = х*.


Типичная картина итераций одномерного отображения в окрестности неподвижной точки х* представлена на рисунке 7.4. В окрестности этой точки величины хn - x* при больших n стремятся к геометрической прогрессии:

 

Рисунок 7.4 – Функция f(x) и первые элементы последовательности {xn}, xn ® x* при n ®¥


Отметим, что все неподвижные точки отобрания лежат на пересечении графика функции xn+1=f(xn,l) с биссектрисой первого координатного угла xn+1n. В самом деле, точка пересечения этих линии xn+1=f(xn,l) = хn удовлетворяют определению неподвижной точки.

Поэкспериментировав с лестницей Ламерея, либо рассмотрев простейшее отображение xn+1=gxn, у которого ноль – неподвижная точа х* и ∂f(x*)/∂x =g, можно установить следующие факты. Когда 1>fx(x*,l)>0, элементы последовательности {xn} монотонно сходятся к х* при fx(x*,l)<0 или расходятся от нее при fx(x*,l) > 1. Когда fx(x*,l)< 0, то элементы последовательности {хn} оказываются поочередно то справа, то слева от неподвижной точки (см. рис. 7.1 а). Они сходятся, если 0 > f(x*,l) > -1, и расходятся, когда fx(x*,l)< -1.

При l < 1 квадратное уравнение x*=lx*(1-x*) имеет один неотрицательный корень х* = 0. При l > 1 неотрицательных корней два: х*=0 и х*= (l-1)/l. При l=1 неподвижная тона x* = 0 теряет устойчивость, а вновь появившийся точа становится устойчивой.

В самом деле, нетрудно определить, будет ли устойчивой неподвижна точа х* отображения f(x,l). Пусть xn=x*+ xn, где xn – малое число. Если точка устойчива, то с ростом n величина | xn | должна уменьшаться. Перепишем формулу (7.1) в виде:

 

При анализе устойчивости особых точек обыкновенных дифференциальных уравнений в невырожденном случае все определяется линейными членами (первый метод теории устойчивости Ляпунова). Проводя здесь аналогичные рассуждения, можно убедиться, что устойчивость точки х* определяется поведением линейного отображения:

(7.5)

 

Но это не что иное, как обычная геометрическая прогрессия. Следовательно, | xn | ®0, когда выполнено неравенство:

(7.6)

 

Это и есть достаточное условие устойчивости неподвижной точки х*. Оно естественно, совпадает с достаточным условием сходимости метода простой


итерации. Если выполнено противоположное неравенство, то можно утверждать, что точка х* будет неустойчивой. Если производная равна единице, то нужно рассматривать следующие члены ряда Тейлора.

Будем дальше увеличивать параметр l. Поведение системы снова изменится: в последовательности {xn}, начиная с достаточно больших n будут чередоваться два числа: а1, а2. (Точнее говоря, последовательность {xn} устроена так, что x2n+1®а1, x2n®а2 при n®¥). Эти числа связаны соотношениями а1 = f(a2), а2 =f(a1). Будем говорить,


Рисунок 7.5 – Цикл S2 в логическом отображении. Точка х=1/2 является элементом цикла. Такие циклы принято называть сверхустойчивыми

Рисунок 7.6 – Функция f(x) и устойчивый цикл S4


что в этом случае отображение (7. 3) имеет устойчивый цикл с периодом 2‚ и обозначать его S2 и также называть числа а1 и а2, элементами цикла. Рисунок 7. 5 показывает, как выглядит цикл S2 на графике.

Переход от неподвижной точки (ее можно считать циклон S1) к циклу S2 произошел в результате бифуркации, которая получила название бифуркация удвоения периода. Точка х* при этом не исчезла, однако величина ∂f(x*,l)/∂x стала меньше - 1.

При дальнейшем увеличении l последовательность {xn} опять изменится. Возникает цикл S4:

, , , , при ,

 

причем

, , , (рисунок 7.6).

Увеличивая далее значение параметра l, мы увидим циклы S8, S16, S32 и т. д. При этом каждый раз цикл S теряет устойчивость, происходит бифуркация удвоения периода, и устойчивым становится цикл S2р+1. Наконец, при некотором значении l (его иногда обозначают l¥) формула (7.3) дает уже некритическую последовательность {xn}.

Наблюдаемая картина оказывается очень интересной. Во-первых, в поразительно простой модели (7.1) заложено очень сложное поведение. Во-вторых, в ней удается проследить большое количество бифуркации, приводящих к усложнению решения. Сделать это в более сложных моделях гораздо сложнее. В-третьих, при 0 < l < l¥, устойчивы только циклы, период которых ранен 2р. Хотелось бы понять, чем это вызвано, и изучить поведение модели более подробно.

Наряду с отображением (7.1), удобно рассмотреть отображение:

(7.7)

В этой главе fn(x,l) всегда будет соответствовать n-ой итерации функции f. В нашем случае вид функции f2(x,l) показан на рисунке 7.7 и 7. 8. Первый рисунок соответствует устойчивой неподвижной точке, второй - устойчивому циклу S2. График f2(x,l) пересекается с прямой y = x во всех неподвижных точках отображения, а также в точках, принадлежащих циклам S2. Действительно, если х*=f(x*)‚ то хn+2 = f(f(хn,l)) = f2n,l) f(f(x*)) = f(x*) = x*.


Кроме того, если а1 и а2 – элементы цикла S2, то:

a2 = f(a1,l) = f(f(a2,l)),

a1 = f(a2,l) = f(f(a1,l)).

Увеличивая параметр l, мы растягиваем функции f2(х,l) вдоль оси у. И если при некотором значении l линии у = х и у = f2(х,l) пересекаются в одной точки (см. рисунок 7.7), то с увеличением l могут появиться еще две точки

Рисунок 7.7 – Зависимость y = f2(x). Отображение f(x) при этом значении параметра имеет устойчивою неподвижною точку


пересечения (см. рисунок 7.8). Они - то и будут ‚определять цикл S2. Переход S2® S4 в отображении f2(х,l) обусловлено тем, что в отображении f2(х,l) одна из неподвижных точек теряет устойчивость, и в ее окрестности появляются две новые устойчивые неподвижные точки. Рассматривая функции f4(х,l), f8(х,l) и т.д., можно увидеть, как происходят следующие удвоения. В каждом из этих случаев одна точка теряет устойчивость

 

Рисунок 7.8 – Такой вид функции f2(x) для логического отображения, когда f(x) определяют сверхустойчивые циклы: а) цикл S2; б) цикл S4;

 

и появляется две другие устойчивые точки, поэтому период цикла удваивается. При этом возникновение устойчивого цикла S4 у отображения xn+1 = f(xn,l) связано с появлением двух устойчивых циклов у отображения f2 и четырех неподвижных точек f4.

Действуя так же, как в случае неподвижной точки, можно показать, что устойчивость цикла Sp с элементами х1,…, хр, будет определяться величиной . В самом деле - точки х1,…, хр будут неподвижными точками отображения G(x,l) = fр(x,l):

и т.д.

 

Следовательно, достаточное условие устойчивости неподвижной точки х1 (либо любой из точек х2‚..., хр) можно использовать для функции G: Продифференцировав эту функцию в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции и опустив зависимость от параметра l, легко убедиться, что это условие эквивалентно неравенству:

(7.8)

 

Из этой формулы следует также, что величина будет одной и той же во всех точках цикла Sp.

Оказалось, что на примере модели (7.3) удается понять не только качественные, но и количественные закономерности возникновения хаоса. Чтобы проследить за ними. построим график х(l). По оси х будем откладывать х12…,хр, лежащие на устойчивом цикле либо другом аттракторе, по оси l - значения параметра. Такую бифуркционноную диаграмму довольно просто построить на компьютере: надо рассчитать несколько тысяч итераций отображения f, первые 300-500 значений отбросить, а остальные отложить на плоскости (х,l) (см. рисунок 7.9). Первые члены следует отбросить, чтобы исключить переходный процесс. Циклу S2 будут соответствовать две точки на одной вертикал, циклу S4 – четыре, и т.д. Обозначим через 1 2 3…. те значения параметра l, при которых происходит удвоения, а через l1 l2 l3…. - значения параметра, при которых х = 1/2 является элементом цикла S2, S4, S8, и т. д. (такие циклы называются сверхустойчивыми). Название ясно из неравенства (7.8). Введем также величины d1 d2 d3…dn‚… равные расстоянию между х = 1/2 и ближайшему к нему элементом цикла S2n при l = l2n. Все эти обозначения пояснены на рисунке 7 9. Из этого рисунка видно, что

 

Расчеты, проведенные на ЭВМ, показали, что числа n и ln при больших n ведут себя как геометрическая прогрессия. Ее знаменатель

 

 

Рисунок 7.9 – Усложнение устойчивых циклов в отображении xn+1=lxn(1-xn) происходящее в результате бифуркаций удвоения периода

 

определяется постоянной d = 4,6692016….. Другими словами,

(7.9)

 

Отношение dn/dn+1 также имеет предел, равный α, где α = - 2‚5029078...

Можно вместо (7.3) рассмотреть другое семейство симметричных функций, имеющих на отрезке [0, 1] один максимум и близких около вершины к квадратичной параболе, в котором также происходит бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при изменении параметра l. Оказалось, что в любой такой модели числа α и d будут одними и теми же. Более того, независимо от вида f(x), предел

 

существует и будет одним и тем же. Его называют универсальной функцией g0(x).

Эти удивительные закономерности были обнаружены и поняты американским математиком М. Фейгенбаумом в 1978 г. М. Фейгенбаум предложил функциональные уравнения, определяющие α, d, g0(x). В силу универсальности чисел α, d, g0(x) и других функций такого типа, эту теорию называют теорией универсальности. То, что переход к хаосу во многих одномерных отображениях происходит в результате бесконечного каскада бифуркаций удвоения периода, было установлено в ряде предшествующих работ. Однако свойство (7.9) и существование универсальных функций получили объяснение именно в теории универсальности.

В этой теории применяется метод ренорм - группы, широко используемый в квантовой теории поля и статистической физике. При таком подходе задачу обычно сводят к решению некоторого функционального уравнения, инвариантного относительно перенормировки, связанной с изменением параметров изучаемого объекта. В теории универсальности постоянная a может быть определена из уравнения, которое имеет наглядный геометрический смысл.

Сравним рисунок 7.5 а и 7.8 б. Элемент кривой f2(x), попавший внутрь меньшего квадрата, очень похож на дугу функции f1(x), содержащуюся внутри квадрата на рисунке 7.5 а. Практически, они отличаются только масштабом и ориентацией осей. Расчеты показывают, что для функций f2n(x), n >1, при l = ln, такое подобие также имеет место. Оно выполняется тем точнее, чем больше n. Перейдем к переменной xнов = xст – 0.5

Пусть для некой функции g(х) такое подобие выводится точно. Если считать, что коэффициент растяжения вдоль обеих осей ранен a, то для функции g(х) можно получить функциональное уравнение:

7.10

 

Оно позволяет определить как функцию g(x), так и значение a. Функции g определена на отрезке [-1, 1]; считается, что она имеет единственный максимум при х = 0 и симметрична: g(x) = g(-x). Вблизи максимума g(x) должна быть близка к квадратичной параболе, причем g(0) = 1. Оператор Т называется преобразованием удвоения.

В теории универсальности рассматривается пространство отображений отрезка [-1, 1] в себя, таких, что f(x) ϵ С2 ([-1, 1]), x = 0 является точкой максимума f(0)=1. Это пространство инвариантно относительно преобразования Т.

Можно показать, что функция g(х) определяет некоторым рядам

.

 

Существует наглядная аналогия между неподвижными точками одномерных отображений и объектами теории универсальности.

 

Элементы теории универсальности 1)

 

Чтобы убедиться в этом, введем по аналогии с g0(x) целое семейство универсальных функций

 

Можно убедиться, что уже gi(x) и gi-1(x) связаны между собой преобразованием удвоения Т:

В самом деле,

 

 

Следовательно, переходя к пределу при i

 

 

получаем уравнение для неподвижной точки оператора удвоения

 

 

 

1) При первом знакомстве книгой этот пункт можно опустить

Чтобы убедиться в том, что существует универсальная постоянная d и том, что значения ln образуют геометрическую прогрессию, можно рассуждать следующим образом.

Пусть после сдвига координат х на 1/2 координата вершины совпадет с х = 0. Следовательно, значения ln, при которых есть сверхустойчивые циклы, удовлетворят уравнению

 

(см. рисунок 7.5, 7.6). Разложим функцию f(l,x) в точке l¥

 

где Применение к этому равенству оператора удвоения дает

.

 

Добавив малое приращение df(x) к функции f(x), нетрудно убедиться, что

n - кратное применение оператора удвоения даст следующий результат

Однако поскольку

,

 

при n>>1, то имеет место приближенное равенство.

при n >> 1.

Естественно предположить, что линейный оператор L имеет собственные значения mk и собственные функции jk. Разложим по этим функциям df(x)

В теории универсальности показывается, что m1 > 1; |mk| < 1 при k ¹ 1. Следовательно,

при n >> 1.

Поэтому

 

Напомним, что g(0) = 1, а при значении ln, соответствующих сверхустойчивому циклу S2n ,

Следовательно,

 

Таким отказом, числа ln образуют геометрическую прогрессию с одним и тем же знаменателем m-1, называется от функции f. Отсюда ясно, что собственное значение m1 совпадает с универсальной постоянной Фейгенбаума d.

Переход к хаосу

Сценарий возникновения непериодического движения, хаотического аттрактора, в результате каскада бифуркаций удвоения периода первоначально был подробно исследован для логистического отображения. Позже были получены строгие результаты, позволяющие выделить классы одномерных отображений, для которых переход к хаосу происходит в соответствии со сценарием Фейгенбаума. Однако экспериментальное изучение и компьютерные моделирование множества нелинейных систем показали, что для них характерна последовательность бифуркаций удвоения периода, а значении бифуркационных параметров и амплитуды циклов характеризуются теми же универсальными постоянными a и d. При этом изучаемые объекты могут описываться многомерными отображениями, автономными или неавтономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, либо уравнениями в частных производных. Это замечательный факт. Большой класс нелинейных явлений демонстрирует не только одинаковое качественное поведение, но и универсальные количественные закономерности.

Приведем несколько примеров.

Логистическое отображение, как и остальные одномерные отображения с достаточно сложным поведением, необратимы; в них одному и тому же образу хn+1 может соответствовать два прообраза x'n и х'' x''n - (Например, для логистического отображении ).

С другой стороны, эта ситуация нетипична для дифференциальных уравнений. Отображения, которые они порождают, , обычно являются взаимно однозначными для конечных промежутков времени Т - одному образу соответствует единственный прообраз х(t). Отображения часто используются как упрощенные модели дифференциальных уравнении, и во многих случаях важно, чтобы они отражали эту однозначность.

Этим свойством обладает одно из наиболее известных двумерных отображений - отображение Хенона

(7.11)

Это отображение было предложено как упрощенная модель динамической системы с непрерывным временем - модели Лоренца. Последнее, в свою очередь, возникло как модель, описывающая движение жидкости. С другой стороны, замена переменных хn+1 = zn + С позволяет избавиться от постоянного чалена и привести отображение (7.11) к виду zn+1 = g(zn, zn-1), напоминающему логистическое отображение. Такие отображением можно интерпретировать как модель динамики популяции, в которой ресурс расходуется не только одним поколением с численностью zn, но и предыдущим с численностью zn-1.

Модель (7.11) демонстрирует хаотическое поведение. При этом переход к хаосу может происходить в результате каскада бифуркаций удвоения периода, например, в интервале параметров b = 0,3; 1,2 < l < 1,96.

Двумерные отображения используются в качестве математических моделей в нелинейной оптике. В работах японского исследователя К. Икеды был рассмотрен резонатор, частично заполненный средой с так называемой фазовой нелинейностью. Эта среда меняет фазу электромагнитной волны Е в зависимости от ее амплитуды |Е|. Резонатор возбуждается лучом лазера: с помощью системы зеркал выходящий луч вновь заводится в резонатор. В простейшем случае эта физическая система описывается отображением.

En+1=A + B En exp {i|En|2}.

Здесь A - параметр, характеризующий интенсивность излучения лазера. В - величина, определяемая оптическими свойствами резонатора, En - комплексная амплитуда электромагнитной волны после n - кратного прохождения света через резонатор. Каскад бифуркаций удвоения периода наблюдается, например, при В » 0.154 и 100,8 > А > 99,5. Многочисленные натурные эксперименты с нелинейными резонаторами подтвердили существование оптического хаоса, и позволили детально исследовать его свойства.

Представим себе обсуждавшуюся модель математического маятника. Допустим, что его длина l меняется периодически с частотой W. Это может соответствовать тому, что вы периодически приседаете и выпрыгиваете, качаясь на коленях. Кажется естественным, что, подобрав частоту W, можно попасть в резонанс (в этом случае он называется параметрическим резонатором) и многократно увеличить энергию колебаний. При больших скоростях становятся существенны диссипативные процессы, например, вязкое трение. Это приводит к неавтономно обыкновенному дифференциальному уравнению его второго порядка:

.

При g = 0,15; W = 1.56 и изменении амплитуды А в интервале 0.51 < А < 0,92 здесь также происходит переход к хаосу в соответствии со сценарием Фейгенбаума.

Одной из наиболее известных моделей нелинейной динамики, в которой впервые было убедительно продемонстрировано существование странного аттрактора, является система Лоренца. Американский методолог Э. Лоренц, анализируя результаты наблюдений сети метеостанций, столкнулся с явлением, которое позже получило название чувствительности к первоначальным данным. Оно связано с расходимостью близких траекторий. Именно с этим свойством динамики атмосферы Э. Лоренц связал принципиальные трудности в получении среднесрочного (на время 2 - 3 недели) прогноза погоды. Эти трудности не удалось преодолеть, используя более эффективные компьютеры и вычислительные алгоритмы, они обусловлены внутренними свойствами нелинейных процессов, влияющих на состояние атмосферы. В качестве такого процесса Э. Лоренц рассматривал конвекцию в подогреваемом снизу слое жидкости или газа. Такая модель отражает тот факт, что поверхность Земли, прогреваемая Солнцем, гораздо теплее верхних слоев воздуха.

Простейшая модель этого явления - система Лоренца:

где r - число Релея, р - число Прандтля, пропорциональное отношению кинематической вязкости теплопроводности, коэффициент b отражает геометрию задачи. Переменные у и z соответствуют фурье -гармоникам поля температур, х - поля скоростей.

При исследовании этой математической модели были обнаружены многие интересные явления, апробированы различные асимптотические и вычислительные алгоритмы. При больших значениях числа Рэлея в этой системе возникают «окна периодичности», в которых аттракторами являются предельные циклы. Уменьшая величину r внутри этих полос, модно наблюдая каскад бифуркаций удвоения периода. В частности, таком каскад наблюдается при р = 10; b = 8/3; 100,8 < r < 99,52.

Эти и многие другие задачи, активно излучавшиеся в 80 - е гг., показывают, что мы имеем дело с универсальным поведением, характерным для огромного множества различных систем.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: