Тема: Затухающие и вынужденные колебания
1. 
Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Коэффициент затухания.
2. 
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний.
Амплитуда
и частота затухающих колебаний.
3. Логарифмический декремент затухания.
Добротность колебательной системы.
Апериодический процесс.
1. Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания.
Раньше мы рассмотрели собственные колебания консервативных (идеальных) колебательных систем. В таких системах возникают гармонические колебания, которые характеризуются постоянством амплитуды и периода, и описываются следующим дифференциальным уравнением
. (1)
В реальных же колебательных системах всегда присутствуют силы, препятствующие колебаниям (силы сопротивления). Например, в механических системах всегда присутствует сила трения. В этом случае энергия колебаний постепенно расходуется на работу против силы трения. Поэтому энергия и амплитуда колебаний будет уменьшаться, и колебания будут затухать. В электрическом колебательном контуре энергия колебаний расходуется на нагревание проводников. То есть реальные колебательные системы являются диссипативными.
Собственные колебания в реальных системах являются затухающими.
Чтобы получить уравнение колебаний в реальной системе необходимо учесть силу сопротивления. Во многих случаях можно считать, что при небольших скоростях изменения величины S сила сопротивления пропорциональна скорости
, (2)
где r – коэффициент сопротивления (коэффициент трения при механических колебаниях), а знак минус показывает, что сила сопротивления противоположна скорости.
Подставив силу сопротивления в формулу (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания в реальной системе
. (3)
Перенесем все члены в левую часть, разделим на величину m и введем следующие обозначения
(4), и 
(5).
Как и прежде величина ω 0 определяет частоту собственных колебаний идеальной системы. Величина же β характеризует диссипацию энергии в системе и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5) видно, что коэффициент затухания можно уменьшить, увеличив значение величины m при неизменном значении величины r.
С учетом введенных обозначений получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
. (4)
2. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Амплитуда и частота затухающих колебаний.
Можно показать, что при небольших значениях коэффициента затухания общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет следующий вид
, (5)
где величина, стоящая перед синусом называется амплитудой затухающих колебаний
. (6)
Частота ω затухающих колебаний определяется следующим выражением
. (7)
Из приведенной формулы (7) видно, что частота собственных колебаний реальной колебательной системы меньше частоты колебаний идеальной системы.
График уравнения затухающих колебаний приведен на рисунке. Сплошной линией показан график смещения S(t), а штрихпунктирной линией показано изменение амплитуды затухающих колебаний.
Следует иметь в виду, что в результате затухания не все значения величин повторяются. Поэтому, строго говоря, понятия частоты и периода не применимы к затухающим колебаниям. В этом случае под периодом понимают промежуток времени, по прошествии которого колеблющиеся величины принимают максимальные (или минимальные) значения.
3. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс.
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится логарифмический декремент затухания δ.
Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд в моменты времени t и t+T, т.е. отличающихся на период.
По определению логарифмический декремент определяется следующей формулой
. (8)
Если вместо амплитуд в формуле (8) подставить формулу (6), то получим формулу, связывающую логарифмический декремент с коэффициентом затухания и периодом
. (9)
Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации 
. С учетом этого получим, что 
, где N – это число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. То есть логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Если, например, β =0,001, то это означает, что через 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.
Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина θ, равная произведению числа 2π и отношения энергии W(t) колебаний в произвольный момент времени и убыли этой энергии за один период затухающих колебаний
. (10)
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то заменив энергии в формуле (10) квадратами амплитуд, определяемых формулой (6), получим
. (11)
При незначительных затуханиях 
, 
и 
. С учетом этого для добротности можно записать
. (12)
Приведенные здесь соотношения можно записать для различных колебательных систем. Для этого достаточно величины S, m, k и r заменить соответствующими величинами, характеризующими конкретные колебания. Например, для электромагнитных колебаний S→ q, m → L, k →1/C и r → R.
Апериодический процесс.
При большом значении коэффициента затухания β происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и увеличение периода колебаний. Из формулы (7) видно, что при 
циклическая частота колебаний обращается в нуль (Т = ∞), т.е. колебания не возникают. Это означает, что при большом сопротивлении вся энергия, сообщенная системе, к моменту возвращения ее в положение равновесия расходуется на работу против силы сопротивления. Система, выведенная из положения равновесия, возвращается в положение равновесия без запаса энергии. Говорят, что процесс протекает апериодически. При этом время установления равновесия определяется значением сопротивления.
Читателю предлагается самому посмотреть как влияют значения величин r, m, Т 1 и φ 0 на характер колебаний реальной колебательной системы.
Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.
Ошибка! Ошибка связи.
Вопросы для самопроверки:
1. Вывести уравнение затухающих колебаний. Какой вид имеет график уравнения затухающих колебаний?
2. Какой формулой определяется коэффициент затухания? Как можно уменьшить коэффициент затухания?
3. Записать закон изменения амплитуды затухающих колебаний.
4. Какой формулой определяется частота собственных колебаний реальной колебательной системы?
5. Что характеризует логарифмический декремент затухания?
6. Что понимают под добротностью колебательной системы?